Valor Absoluto Desigualdades GMAT Quant +56937780070

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Valor Absoluto Desigualdades GMAT Quant

By Claudio Hurtado Tutor Personal GMAT QUANT, GRE QUANT, SAT QUANT +56937780070

🔹 Concepto de Valor Absoluto

Valor Absoluto Desigualdades GMAT. El valor absoluto de un número x, denotado |x|, representa su distancia al cero en la recta numérica, sin importar el signo.

  • Si x ≥ 0, entonces |x| = x.
  • Si x < 0, entonces |x| = -x.

Ejemplos: |5| = 5, |-7| = 7.

🔹 Propiedades Fundamentales

  • No negatividad: |x| ≥ 0.
  • Simetría: |x| = |-x|.
  • Multiplicación: |ab| = |a| · |b|.
  • División: |a/b| = |a| / |b|, siempre que b ≠ 0.
  • Potencias: |x²| = x².
  • Desigualdad triangular: |a+b| ≤ |a| + |b|.

🔹 Trucos GMAT con Valor Absoluto

  • Truco 1: Resolver |x| = k como x = k o x = -k.
  • Truco 2:
    • |x| < k ⇒ -k < x < k
    • |x| > k ⇒ x < -k o x > k
  • Truco 3: |x-a| < k significa que x está dentro de un intervalo de radio k alrededor de a.
  • Truco 4: Si |x| < |y|, entonces x está más cerca de 0 que y.

🔹 Desigualdades con Valor Absoluto

  • |x| < k ⇒ -k < x < k
  • |x| ≤ k ⇒ -k ≤ x ≤ k
  • |x| > k ⇒ x < -k o x > k
  • |x-a| < k ⇒ a-k < x < a+k

🔹 Estrategia GMAT

  • Identificar el centro: |x-a| representa distancia a a.
  • Traducir a intervalos: Convierte la desigualdad en rango.
  • Graficar mentalmente: Visualizar la recta numérica ayuda a evitar errores.
  • Probar extremos: Verificar valores límite.
  • Atención a ≥ y ≤: Incluyen extremos; > y < los excluyen.

🔹 Ejemplo GMAT

Problema: Resolver |2x-4| < 6.

  1. Identificar forma: |expresión| < k.
  2. Traducir: -6 < 2x-4 < 6.
  3. Resolver: -2 < 2x < 10 ⇒ -1 < x < 5.

Respuesta: Intervalo (-1, 5).

🔹 Resumen de Trucos Clave

  • Siempre dividir en casos.
  • Pensar en distancia (|x-a|).
  • Convertir desigualdades en intervalos.
  • Usar recta numérica mental.
  • Practicar con extremos.
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EJERCICIOS GMAT – Valor Absoluto y Desigualdades

Nivel Básico

Problema 1

Resuelve: |x - 3| = 5

  • Dos casos: x - 3 = 5 o x - 3 = -5
  • Soluciones: x = 8 o x = -2

Respuesta: x = -2 o x = 8

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Problema 2

Resuelve: |x + 4| < 7

  • Desigualdad: -7 < x + 4 < 7
  • Restar 4: -11 < x < 3

Respuesta: (-11, 3)

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Problema 3

Resuelve: |2x - 1| ≥ 3

  • Dos casos: 2x - 1 ≥ 3 o 2x - 1 ≤ -3
  • Soluciones: x ≥ 2 o x ≤ -1

Respuesta: x ≤ -1 o x ≥ 2

Nivel Intermedio

Problema 1

Resuelve: |x^2 - 4| < 5

  • Desigualdad: -5 < x^2 - 4 < 5
  • Sumar 4: -1 < x^2 < 9
  • Como x^2 ≥ 0, entonces x^2 < 9 ⇒ -3 < x < 3

Respuesta: (-3, 3)

Problema 2

Resuelve: |x^2 - 2x| ≥ 3

  • Dos casos: x^2 - 2x ≥ 3 o x^2 - 2x ≤ -3
  • Primera: (x-3)(x+1) ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 o x ≥ 3
  • Segunda: sin solución (discriminante negativo)

Respuesta: x ≤ -1 o x ≥ 3

Problema 3

Resuelve: |x-1| + |x+2| ≤ 5

  • Dividir en regiones: x < -2, -2 ≤ x < 1, x ≥ 1
  • Solución combinada: -3 ≤ x ≤ 2

Respuesta: [-3, 2]

Nivel Avanzado

Problema 1

Resuelve: \frac{|x-2|}{x} > 1

  • Restricción: x ≠ 0
  • Caso x > 0: se obtiene solución en 0 < x < 1
  • Caso x < 0: contradicción

Respuesta: (0, 1)

Problema 2

Resuelve: \frac{|x+1|}{x-3} ≤ 2

  • Caso x ≥ -1: solución x ≥ 7
  • Caso x < -1: solución todo x < -1

Respuesta: x < -1 o x ≥ 7

Problema 3

Resuelve: |x-4| + \frac{1}{|x-4|} ≥ 5

  • Sea y = |x-4| ⇒ y + 1/y ≥ 5
  • Solución: |x-4| ≤ 0.21 o |x-4| ≥ 4.79
  • Intervalos: 3.79 ≤ x ≤ 4.21 o x ≤ -0.79 o x ≥ 8.79

Respuesta: x ∈ [3.79, 4.21] ∪ (-∞, -0.79] ∪ [8.79, ∞)

Simulacro GMAT

Problema 1

Resuelve: |2x-5| + |x+1| ≤ 10

Respuesta: -2 ≤ x ≤ 14/3

Problema 2

Resuelve: \frac{|x-3|}{x^2-9} < 0

Respuesta: -3 < x < 3, x ≠ 3

Problema 3

Resuelve: |x^2 - 6x + 8| ≤ 4

Respuesta: 0.76 ≤ x ≤ 5.24

Problema 4 (Data Sufficiency)

¿Es x > 0?

Respuesta: (E) Ninguna condición es suficiente

Problema 5

Resuelve: |x-2| + |x-5| ≥ 6

Respuesta: x ≤ 0.5 o x ≥ 6.5

Problema 6

Resuelve el sistema: |x+y| ≤ 4, |x-y| ≥ 2

Respuesta: Región dentro del rombo |x+y| ≤ 4 y fuera de la franja |x−y| < 2

Problema 7

Resuelve: \frac{|x|}{x+2} > 1

Respuesta: -2 < x < -1

Cheat Sheet GMAT – Valor Absoluto y Desigualdades

Conceptos clave

  • |x| = distancia de x al 0
  • |x| ≥ 0 siempre
  • |x| = x si x ≥ 0, -x si x < 0

Propiedades

  • |ab| = |a||b|
  • |a/b| = |a|/|b|
  • |x²| = x²
  • Desigualdad triangular: |a+b| ≤ |a| + |b|

Desigualdades

  • |x| < k ⇒ -k < x < k
  • |x| ≤ k ⇒ -k ≤ x ≤ k
  • |x| > k ⇒ x < -k o x > k
  • |x-a| = distancia entre x y a

Trucos GMAT

  • Identifica puntos críticos
  • Divide en casos
  • Revisa extremos
  • Visualiza en recta numérica

Errores frecuentes

  • Olvidar restricciones (denominadores ≠ 0)
  • No considerar x=0 en Data Sufficiency
  • Confundir ≥ con >
  • Resolver solo un caso y olvidar el otro

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FAQ GMAT – Valor Absoluto y Desigualdades

¿Qué es el valor absoluto?

El valor absoluto de un número x, denotado ∣x∣, es la distancia de x al cero en la recta numérica. Si x≥0, ∣x∣=x; si x<0, ∣x∣=−x.

¿Cuáles son las propiedades principales del valor absoluto?

∣x∣≥0.
∣x∣=∣−x∣.
∣ab∣=∣a∣⋅∣b∣.
∣a/b∣=∣a∣/∣b∣ si b≠0.
∣x2∣=x2.
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ (desigualdad triangular).

¿Cómo se resuelven desigualdades con valor absoluto?

∣x∣<k  ⟹  −k<x<k.
∣x∣≤k  ⟹  −k≤x≤k.
∣x∣>k  ⟹  x<−k o x>k.
∣x−a∣<k  ⟹  a−k<x<a+k.

¿Qué trucos usar en GMAT con valor absoluto?

Dividir siempre en casos según puntos críticos.
Pensar en distancia (∣x−a∣).
Traducir desigualdades a intervalos.
Graficar mentalmente en la recta numérica.
Revisar extremos y restricciones.

¿Cómo se resuelve ∣x−3∣=5?

Dos casos: x−3=5  ⟹  x=8 o x−3=−5  ⟹  x=−2. Solución: x=−2 o x=8.

¿Cómo se resuelve ∣x+4∣<7?

−7<x+4<7  ⟹  −11<x<3. Intervalo: (−11,3).

¿Cómo se resuelve ∣2x−1∣≥3?

Dos casos: 2x−1≥3  ⟹  x≥2 o 2x−1≤−3  ⟹  x≤−1. Solución: x≤−1 o x≥2

¿Cómo se resuelve ∣x2−4∣<5?

−5<x2−4<5  ⟹  −1<x2<9. Como x2≥0, se obtiene x2<9  ⟹  −3<x<3.

¿Cómo se resuelve ∣x2−2x∣≥3?

Caso 1: x2−2x≥3  ⟹  (x−3)(x+1)≥0  ⟹  x≤−1 o x≥3. Caso 2: x2−2x≤−3

¿Cómo se resuelve ∣x−1∣+∣x+2∣≤5?

Analizando regiones se obtiene solución combinada: −3≤x≤2.

¿Cómo se resuelve ∣x−2∣x>1?

Restricción: x≠0. Caso x>0: solución 0<x<1. Caso x<0: contradicción. Respuesta: (0,1).

¿Cómo se resuelve ∣x+1∣x−3≤2?

Caso x≥−1: solución x≥7. Caso x<−1: solución todo x<−1. Respuesta: x<−1 o x≥7.

¿Cómo se resuelve ∣x−4∣+1∣x−4∣≥5?

Sea y=∣x−4∣. Se obtiene y+1/y≥5  ⟹  y≤0.21 o y≥4.79. Intervalos: 3.79≤x≤4.21, x≤−0.79, o x≥8.79.

¿Cómo se resuelve ∣2x−5∣+∣x+1∣≤10?

Intervalo: −2≤x≤14/3.

¿Cómo se resuelve ∣x−3∣x2−9<0?

Numerador ≥0, denominador <0 en −3<x<3. Respuesta: −3<x<3,x≠3.

¿Cómo se resuelve ∣x2−6x+8∣≤4?

Factorizar: (x−2)(x−4). Solución aproximada: 0.76≤x≤5.24.

En Data Sufficiency, ¿es x>0 si ∣x∣<5 y ∣x∣=x?

Ninguna condición es suficiente por sí sola ni juntas. Respuesta: (E).

¿Cómo se resuelve ∣x−2∣+∣x−5∣≥6?

Solución: x≤0.5 o x≥6.5.

¿Cómo se resuelve el sistema ∣x+y∣≤4,∣x−y∣≥2?

Región dentro del rombo ∣x+y∣≤4 y fuera de la franja ∣x−y∣<2.

¿Cómo se resuelve ∣x∣x+2>1?

Restricción: x≠−2. Solución: −2<x<−1

¿Cuáles son los trucos clave para valor absoluto en GMAT?

Identificar puntos críticos.
Dividir en casos.
Traducir desigualdades a intervalos.
Graficar mentalmente.
Revisar extremos y restricciones.

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