Ejercicios GMAT QUANT de Sistemas de Congruencias a ≡ b mod c (¡Domínalos como un Pro!)

By Claudio Hurtado tutorías personalizadas GMAT QUANT +56937780070

Recuerda que: a ≡ b mod c significa que “al dividir a por c, el resto es b”

Ejercicio 1: Sistema Básico con el Teorema Chino del Resto

Problema:
Encuentra el menor número positivo x que cumpla:

• x ≡ 2 mod 3 (x congruente a 2 modulo 3)
• x ≡ 3 mod 5 (x congruente a 3 modulo 5)
• x ≡ 2 mod 7 (x congruente a 2 modulo 7)

Paso a Paso (¡Sigue las pistas!):

1. Verifica si los módulos son amigos:
   • 3, 5 y 7 no comparten divisores (son primos entre sí). ✅
   • ¡Aplica el Teorema Chino del Resto! (Solución única modulo 3*5*7 = 105).
2. Resuelve las dos primeras ecuaciones:
   • Por la primera x ≡ 2 mod 3:
     x = 3k + 2. (X son todos los múltiplos de 3 al cual agregas 2).
   • Mételo en la segunda x ≡ 3 mod 5:
     3k + 2 ≡ 3 mod 5 (3k + 2 congruente a 3 modulo 5) → 3k + 2 = 5k + 3 → 3k = 5k + 1
     → 3k ≡ 1 mod 5 (3k congruente a 1 modulo 5).
   • Inverso de 3 modulo 5:
     3*2=6 → 6 ≡ 1 mod 5 (6 congruente a 1 modulo 5) → Inverso es 2.
   • Entonces:
     k ≡ 2 mod 5 (k congruente a 2 modulo 5) → k = 5m + 2.
   • Reemplazando k en x ≡ 2 mod 3 (x = 3k + 2), tenemos x = 3*(5m + 2) + 2 = 15m + 8.
     x = 15m +8 (x ≡ 8 mod 15)
   • Solución parcial:
     x congruente a 8 modulo 15.
3. Agrega la tercera ecuación (x congruente a 2 modulo 7):
   • 15m + 8 congruente a 2 modulo 7 → 15m congruente a -6 modulo 7 → Simplifica: 15m congruente a 1 modulo 7 (porque -6 +7=1).
   • 15 modulo 7 = 1 → 1*m congruente a 1 modulo 7 → m congruente a 1 modulo 7 → m = 7n +1.
   • x = 15*(7n +1) +8 = 105n +23.
   • Menor solución: n=0 → x=23.

✅ Verificación:

• 23 dividido 3 → residuo 2 ✔️
• 23 dividido 5 → residuo 3 ✔️
• 23 dividido 7 → residuo 2 ✔️

¡Tú Inténtalo! ¿Qué pasa si usas x=23+105? ¿Sigue cumpliendo? 🔍

Ejercicio 2: Sistema sin Solución Única (¡Cuidado con las Trampas!)

Problema:
¿Tiene solución este sistema?

• x congruente a 4 modulo 6
• x congruente a 2 modulo 8

Paso a Paso (Analiza como Sherlock):

1. Compatibilidad:
   • MCD(6,8)=2.
   • Resta las congruencias: 4-2=2.
   • Regla: 2 debe ser divisible por MCD(6,8)=2 → 2/2=1 ✔️.
2. Simplifica el sistema dividiendo por MCD=2:
   • Nueva versión:
     • x congruente a 2 modulo 3
     • x congruente a 1 modulo 4
3. Resuelve:
   • x = 3k +2.
   • Mételo en la segunda: 3k +2 congruente a 1 modulo 4 → 3k congruente a -1 modulo 4 → 3k congruente a 3 modulo 4.
   • Inverso de 3 modulo 4 = 3 (porque 3*3=9 congruente a 1 modulo 4).
   • k congruente a 3*3=9 congruente a 1 modulo 4 → k=4m +1.
   • x=3*(4m +1)+2=12m +5.
   • Solución general: x congruente a 5 modulo 12.
4. Vuelve al módulo original (MCM(6,8)=24):
   • Multiplica por 2: x congruente a 10 modulo 24.

Respuesta: ¡Sí hay solución! La menor es 10, y luego 34, 58… (sumando 24).

⚠️ Alerta GMAT: Si la resta de congruencias no es divisible por el MCD, el sistema no tiene solución.

Ejercicio 3: Aplicación en la Vida Real (¡Calcula Días Futuros!)

Problema:
Si hoy es martes, ¿qué día será dentro de x días, donde x es el menor número que cumple:

• x congruente a 1 modulo 3
• x congruente a 2 modulo 4
• x congruente a 3 modulo 5

Paso a Paso (¡Convierte números en días!):

1. Resuelve el sistema:
   • Módulos 3,4,5 → primos entre sí.
   • Teorema Chino del Resto: Solución única modulo 60.
2. Primeras dos ecuaciones:
   • x=3k +1.
   • Mételo en la segunda: 3k +1 congruente a 2 modulo 4 → 3k congruente a 1 modulo 4.
   • Inverso de 3 modulo 4=3 → k congruente a 3 modulo 4 → k=4m +3.
   • x=3*(4m +3)+1=12m +10.
3. Agrega la tercera ecuación:
   • 12m +10 congruente a 3 modulo 5 → 12m congruente a -7 modulo 5 → 12m congruente a 3 modulo 5.
   • 12 modulo 5=2 → 2m congruente a 3 modulo 5.
   • Inverso de 2 modulo 5=3 → m congruente a 3*3=9 congruente a 4 modulo 5 → m=5n +4.
   • x=12*(5n +4)+10=60n +58.
   • Menor solución: x=58.
4. Calcula el día:
   • Semana=7 días → 58 dividido 7=8 semanas y residuo 2.
   • Hoy es martes (día 2) → 2 +2=4 → Día 4=Jueves.

Respuesta: ¡Dentro de 58 días será jueves! 🎉

💡 Dato Freak: Así funcionan los algoritmos de calendarios digitales.

¡Conviértete en un Ninja de las Congruencias!

1. Memoriza: El Teorema Chino del Resto es tu aliado con módulos coprimos.
2. Practica: Resuelve sistemas con MCD primero para ver si son compatibles.
3. Aplica: Usa inversos multiplicativos para despejar variables.

¿Listo para un Desafío? Intenta resolver:

• x congruente a 1 modulo 4
• x congruente a 3 modulo 5
• x congruente a 2 modulo 9

¡Comenta tu solución! 🚀 #MatemáticasDivertidas #AprendeHaciendo

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