Preguntas GMAT QUANT Data Sufficiency Nivel 700+ explicadas paso a paso

Combinatoria, Estadística y Propiedades de Números aplicadas en GMAT
By Claudio Hurtado clases tutorías y cursos para preparar GMAT QUANT +56937780070

1. Combinatoria Avanzada (Dificultad: 750)

Problema:
¿Cuántos comités de 5 personas pueden formarse con 7 ingenieros y 4 diseñadores si debe haber al menos 2 ingenieros y 1 diseñador?
(1) El comité debe incluir al menos 3 diseñadores si hay exactamente 2 ingenieros
(2) No puede haber más de 3 ingenieros

Paso a Paso:

1. Casos base sin restricciones:
   • Mínimo 2 ingenieros (I) y 1 diseñador (D):
     • 2I + 3D: C(7,2) × C(4,3) = 21 × 4 = 84
     • 3I + 2D: C(7,3) × C(4,2) = 35 × 6 = 210
     • 4I + 1D: C(7,4) × C(4,1) = 35 × 4 = 140
     • Total base: 84 + 210 + 140 = 434
2. Análisis de (1):
   • Si hay 2I → Debe haber ≥3D (ya cubierto en el caso 2I + 3D).
   • No cambia el total. No suficiente.
3. Análisis de (2):
   • Máximo 3I → Elimina el caso 4I + 1D (140).
   • Nuevo total: 84 + 210 = 294. Suficiente.

Respuesta: B
Sugerencia: En restricciones múltiples, identifica qué casos elimina cada declaración.

2. Estadística Avanzada (Dificultad: 740)

Problema:
La media aritmética de 5 números es 20. ¿Cuál es el valor del sexto número?
(1) La mediana de los 6 números será igual a la media
(2) El sexto número es mayor que 15

Paso a Paso:

1. Datos iniciales:
   • Suma total inicial: 5 × 20 = 100.
   • Sea x el sexto número: Nueva media = (100 + x)/6.
2. Análisis de (1):
   • Mediana = Media → (100 + x)/6 debe ser igual al promedio de los números centrales.
   • Sin información sobre orden de los números, múltiples soluciones (ej: x=20 → media=20, pero x=28 → media=128/6≈21.33). No suficiente.
3. Análisis de (2):
   • x >15, pero sin relación con la media. No suficiente.
4. Combinadas:
   • Aún múltiples posibilidades (ej: x=20 vs x=24). Respuesta: E

Sugerencia: En problemas de media/mediana, considera cómo afecta el nuevo valor al orden y equilibrio de los datos.

3. Propiedades de Números (Dificultad: 760)

Problema:
¿Es el número entero n divisible por 35?
(1) n es el producto de tres números primos distintos
(2) n^2 es divisible por 245

Paso a Paso:

1. Requisito: 35 = 5 × 7 → n debe contener ambos factores.
2. Análisis de (1):
   • Tres primos distintos ≠ necesariamente 5 y 7 (ej: 2×3×5=30 → No divisible por 35). No suficiente.
3. Análisis de (2):
   • 245 = 5 × 7^2 → n^2 divisible por 5 y 7^2 ⇒ n debe ser divisible por 5 y 7.
   • Por tanto, n divisible por 5×7=35. Suficiente.

Respuesta: B
Sugerencia: Si a^n es divisible por b, descompón b en primos y aplica reglas de exponentes.

4. Combinatoria y Probabilidad (Dificultad: 780)

Problema:
En una bolsa hay bolas rojas y azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas?
(1) Si se añaden 3 bolas rojas, la probabilidad será 5/16
(2) La razón de bolas rojas a azules es 3:4

Paso a Paso:

1. Variables:
   • r = bolas rojas, a = azules.
   • Probabilidad inicial: [r/(r+a)] × [(r-1)/(r+a-1)].
2. Análisis de (1):
   • Nueva probabilidad: (r+3)/(r+a+3) × (r+2)/(r+a+2) = 5/16.
   • Múltiples soluciones (ej: r=2, a=5 vs r=5, a=10). No suficiente.
3. Análisis de (2):
   • r/a = 3/4 → r=3k, a=4k.
   • Probabilidad: (3k/(7k)) × (3k-1)/(7k-1) = (3/7) × [(3k-1)/(7k-1)].
   • Depende de k (ej: k=1 → 3/7 × 2/6=1/7 vs k=2 → 6/14 ×5/13=15/91). No suficiente.
4. Combinadas:
   • Con r=3k y (r+3)(r+2)/( (7k+3)(7k+2) )=5/16.
   • Solución única: k=1 → r=3, a=4. Probabilidad inicial: 3/7 × 2/6=1/7. Respuesta: C

Sugerencia: En probabilidad con variables, busca relaciones que permitan ecuaciones resolubles.

5. Estadística y Números (Dificultad: 750)

Problema:
¿Cuál es la desviación estándar del conjunto {a, b, c}?
(1) La media es 10
(2) a + b + c = 30

Paso a Paso:

1. Fórmula desviación estándar (σ):
   • σ = √[ ( (a-μ)^2 + (b-μ)^2 + (c-μ)^2 ) / 3 ].
2. Análisis de (1):
   • μ=10, pero sin valores individuales, no se calcula σ. No suficiente.
3. Análisis de (2):
   • a + b + c=30 → μ=10 (igual que 1). Mismo problema. No suficiente.
4. Combinadas:
   • Ambas dan misma info: μ=10, pero sin datos de dispersión. Respuesta: E

Sugerencia: La desviación estándar requiere conocer la dispersión, no solo la media.

6. Propiedades de Números (Dificultad: 770)

Problema:
¿Cuántos divisores positivos tiene n?
(1) n es el cuadrado de un número primo
(2) n^2 tiene 15 divisores

Paso a Paso:

1. Fórmula divisores: Si n = p^a → divisores = a+1.
2. Análisis de (1):
   • n = p^2 → divisores = 2+1=3. Suficiente.
3. Análisis de (2):
   • n^2 tiene 15 divisores → 15=3×5 → n^2 = p^2 × q^4 (o similar).
   • n podría ser p×q^2 → divisores=(1+1)(2+1)=6. Múltiples posibilidades. No suficiente.

Respuesta: A
Sugerencia: Memoriza la relación entre exponentes primos y cantidad de divisores.

Estrategias Clave para Nivel 700+

1. Combinatoria:
   • Divide y vencerás: Separa restricciones en casos manejables.
   • Principio de inclusión-exclusión: Para contar sin duplicar.
   • Ejemplo clave: Si hay restricciones de “al menos” o “máximo”, calcula el total y resta los casos inválidos.
2. Estadística:
   • Media ponderada: Identifica pesos en mezclas o promedios.
   • Efecto en mediana: Al añadir datos, ¿se desplaza a izquierda/derecha?
   • Truco: Si todos los números aumentan en x, la media aumenta en x, pero la mediana depende del orden.
3. Propiedades de Números:
   • Divisibilidad por primos: Si n es divisible por p y q (primos), entonces es divisible por pq.
   • Patrones de ciclicidad: Para últimos dígitos o restos, halla ciclos (ej: 7^1=7, 7^2=9, 7^3=3, 7^4=1 → ciclo de 4).
   • Teorema chino del resto: Para sistemas de congruencias complejas.

Clases GMAT QUANT