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Programa de Pre-Cálculo (2 meses – 2 clases de 50 minutos por semana)

By Claudio Hurtado Coach Cálculo +56937780070
Este programa intensivo de 2 meses te dará la base sólida que necesitas para enfrentar el Cálculo 1 con confianza.

Cada clase de 50 minutos estará diseñada para: reforzar tus habilidades, prepararte para los desafíos que vienen, fortalecer tus conocimientos y prepararte para los retos del cálculo.

Semana 1: ¡Despierta al Álgebra! ¡Fundamentos de Álgebra!

Clase 1:

Repaso de operaciones con números reales, propiedades de los exponentes y operatoria algebraica básica. Repaso de números reales, operaciones algebraicas básicas y propiedades de los exponentes.¡Despeja todas tus dudas!

Ejemplo de pregunta 1:
Simplifica la siguiente expresión: (3x^2 + 5x – 2) – (x^2 – 4x + 1).

Solución:
¡Distribuyendo el negativo! Primero, aplicamos el signo negativo al segundo paréntesis:

3x^2 + 5x – 2 – x^2 + 4x – 1

¡Juntando los amigos! TÉRMINOS SEMEJANTES. Ahora, agrupamos los términos que son «familia» (los que tienen la misma letra y exponente):

(3x^2 – x^2) + (5x + 4x) + (-2 – 1)

¡Calculando! Realizamos las operaciones: 2x^2 + 9x – 3 ¡Y esa es nuestra respuesta final!

Ejemplo de pregunta 2:
Factoriza la siguiente expresión: x^2 – 4x + 4.

Solución:
¡Buscando el patrón! Reconocemos que esta expresión tiene la forma de un trinomio cuadrado perfecto:

(x – a)^2 = x^2 – 2ax + a^2

¡Encontrando el «a»! En nuestro caso, a = 2 (porque 2 * 2 = 4)

¡Escribiendo la respuesta! La factorización es:

(x – 2)^2 ¡Listo!

Ejemplo de pregunta 3:
Resuelve la siguiente ecuación: 2(x + 3) – 5 = 3x – 1

Solución:
¡Quitando paréntesis! Distribuimos el 2:

2x + 6 – 5 = 3x – 1

¡Simplificando! Combinamos los números:

2x + 1 = 3x – 1

¡Moviendo las x! Restamos 2x a ambos lados:

1 = x – 1

¡Despejando x! Sumamos 1 a ambos lados:

2 = x

¡La solución es x = 2!

Ejemplo de pregunta 4:
Simplifica la siguiente expresión: (a^2 * a^5) / a^3

Solución:
¡Multiplicando potencias! Sumamos los exponentes al multiplicar:

a^(2+5) / a^3 = a^7 / a^3

¡Dividiendo potencias! Restamos los exponentes al dividir:

a^(7-3) = a^4

¡Respuesta final: a^4!

Clase 2:

Factorización de expresiones algebraicas, productos notables y resolución de ecuaciones de primer grado. ¡Domina las herramientas esenciales!

Ejemplo de pregunta:
Factoriza la siguiente expresión: x^2 – 4x + 4.

Solución:
Identifica que es un trinomio cuadrado perfecto:

(x – a)^2 = x^2 – 2ax + a^2

Encuentra el valor de a: en este caso,

a = 2 (porque 2*2 = 4)

Resultado: (x – 2)^2

Ejemplo de pregunta 1:
Factoriza la siguiente expresión: 3x^2 + 5x – 2

Solución:
¡Buscando dos números!

Necesitamos dos números que multipliquen -6  y sumen 5. Esos números son 6 y -1.

¡Descomponiendo el término central!

3x^2 + 6x – x – 2

¡Factorizando por grupos!

3x(x + 2) – 1(x + 2)

¡Factorizando el factor común!

(3x – 1)(x + 2) ¡Y ahí lo tenemos!

Ejemplo de pregunta 2:
Desarrolla el siguiente producto notable: (2x – 3)^2

Solución:
¡Recordando la fórmula!

(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2

¡Aplicando la fórmula!

(2x)^2 – 2(2x)(3) + (3)^2

¡Calculando! 4x^2 – 12x + 9 ¡Listo!

Ejemplo de pregunta 3:
Resuelve la siguiente ecuación: (x + 2)(x – 3) = 0

Solución:
¡Igualando a cero cada factor! Para que el producto sea cero, uno de los factores debe ser cero.

¡Primera posibilidad!

x + 2 = 0, entonces x = -2

¡Segunda posibilidad!

x – 3 = 0, entonces x = 3

¡Las soluciones son x = -2 y x = 3!

Ejemplo de pregunta 4:
Factoriza la siguiente expresión: x^2 – y^2

Solución:
¡Diferencia de cuadrados! Reconocemos que es una diferencia de cuadrados:

a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)

¡Aplicando la fórmula! (x – y)(x + y) ¡Fácil!

Semana 2: ¡Trigonometría Sin Misterios! ¡Dominando la Trigonometría!

Clase 3:

Introducción a las funciones trigonométricas, identidades trigonométricas fundamentales y resolución de triángulos rectángulos.

Ejemplo de pregunta:
Si en un triángulo rectángulo isósceles, el seno de un ángulo  es «a», ¿cuál es el coseno del otro ángulo agudo?

Solución:
Utiliza la identidad fundamental:

sen^2(ángulo) + cos^2(ángulo) = 1 (SIEMPRE QUE SEA EL MISMO ÁNGULO)

Reemplaza el valor del seno:

(a)^2 + cos^2(ángulo) = 1

Despeja el coseno:

cos^2(ángulo) = 1 – (a)^2

Calcula la raíz cuadrada:

Raíz cuadrada de (cos^2(ángulo))= Raíz cuadrada de (1 – (a)^2)

Entonces cos(ángulo) = Raíz cuadrada de ((1+a)(1-a))  ¡No hay misterio!

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 6 cm y 8 cm.

Solución:
¡Teorema de Pitágoras! a^2 + b^2 = c^2 (donde c es la hipotenusa)

¡Reemplazando valores!

6^2 + 8^2 = c^2

¡Calculando!

36 + 64 = c^2,

entonces 100 = c^2

¡Sacando la raíz!

c = raíz cuadrada de 100 = 10 cm

¡La hipotenusa mide 10 cm!

Ejemplo de pregunta 3:
Si el coseno de un ángulo es 12/13, encuentra el seno y la tangente del mismo ángulo.

Solución:
¡Usando la identidad pitagórica! sen^2(ángulo) + cos^2(ángulo) = 1 (SIEMPRE QUE SEA EL MISMO ÁNGULO)

sen^2(ángulo) + (12/13)^2 = 1

¡Despejando el seno!

sen^2(ángulo) = 1 – 144/169 = 25/169

¡Calculando la raíz!

sen(ángulo) = 5/13

¡Calculando la tangente!

tan(ángulo) = sen(ángulo) / cos(ángulo) = (5/13) / (12/13) = 5/12

¡El seno es 5/13 y la tangente es 5/12!

Ejemplo de pregunta 4:
Convierte 45 grados a radianes.

Solución:
¡Factor de conversión! Sabemos que 180 grados = pi radianes

¡Multiplicando!

45 grados * (pi radianes / 180 grados) = pi/4 radianes

¡45 grados son pi/4 radianes!

Clase 4:

Funciones trigonométricas inversas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones. ¡Prepárate para conquistar las ondas!

Ejemplo de pregunta:
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: 2sen(x) – 1 = 0 en el intervalo [0, 2pi].

Solución:
Despeja sen(x): sen(x) = 1/2

Encuentra los ángulos en el intervalo dado donde el seno es 1/2:

x = pi/6 y x = 5*pi/6

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el valor de arcsen(1).

Solución:
¡Preguntando al seno! arcsen(1) es el ángulo cuyo seno es 1.

¡Recordando el círculo unitario!

El seno es 1 en pi/2 radianes (o 90 grados).

¡arcsen(1) = pi/2!

Ejemplo de pregunta 3:
Resuelve la ecuación: cos(x) = raíz de 3 / 2 en el intervalo [0, 2*pi]

Solución:
¡Buscando los ángulos! ¿Qué ángulos tienen un coseno de raíz de 3 / 2?

¡Encontrando las soluciones!

x = pi/6 y x = 11*pi/6

¡Las soluciones son pi/6 y 11*pi/6!

Ejemplo de pregunta 4:
Si la tangente de un ángulo es 1, ¿cuál es el valor del ángulo en grados y radianes?

Solución:
¡Pensando en la tangente! ¿Qué ángulo tiene una tangente de 1?

¡Encontrando el ángulo!

El ángulo es 45 grados o pi/4 radianes.

¡El ángulo es 45 grados o pi/4 radianes!

Semana 3: ¡Funciones a la Vista! ¡Explorando las Funciones!

Clase 5:

Concepto de función, tipos de funciones (lineales, cuadráticas, polinómicas) y sus gráficas.

Ejemplo de pregunta 1:
Grafica la función lineal f(x) = 2x – 1.

Solución:
¡Creando una tabla de valores! Damos algunos valores a x y calculamos f(x).

Por ejemplo:
Si x = 0, f(0) = 2(0) – 1 = -1
Si x = 1, f(1) = 2(1) – 1 = 1

¡Dibujando los puntos!

Marcamos los puntos (0, -1) y (1, 1) en el plano cartesiano.

¡Trazando la línea!

Unimos los puntos con una línea recta. ¡Esa es la gráfica!

Ejemplo de pregunta 2:
Determina el vértice de la parábola f(x) = x^2 – 4x + 3.

Solución:
¡Recordando la fórmula! El vértice de una parábola f(x) = ax^2 + bx + c tiene coordenada x en -b / 2a.

¡Aplicando la fórmula!

En nuestro caso, a = 1, b = -4, c = 3.

Entonces, x = -(-4) / (2 * 1) = 2

¡Calculando la coordenada y!

f(2) = (2)^2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1

¡El vértice es (2, -1)!

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra las raíces de la función cuadrática f(x) = x^2 – 5x + 6.

Solución:
¡Igualando a cero! Queremos encontrar los valores de x donde f(x) = 0.

¡Factorizando!

x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

¡Encontrando las soluciones!

(x – 2) = 0 o (x – 3) = 0. Entonces x = 2 o x = 3.

¡Las raíces son x = 2 y x = 3!

Ejemplo de pregunta 4:
Determina el dominio y recorrido de la función lineal f(x) = 3x + 5.

Solución:
¡Dominio de una lineal! Las funciones lineales están definidas para todos los números reales. Dominio: Todos los reales.

¡Rango o recorrido de una lineal!

Las funciones lineales también toman todos los valores reales.

Recorrido: Todos los reales.

¡Dominio y recorrido son todos los reales!

Clase 6:

Funciones especiales (valor absoluto, raíz cuadrada, racionales) y operaciones con funciones. ¡Entiende el lenguaje del Cálculo!

Ejemplo de pregunta 1:
Determina el dominio de la función f(x) = raíz cuadrada de (x – 4).

Solución:
¡Restricción de la raíz! Lo que está dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero: x – 4 >= 0

¡Despejando x!

Sumamos 4 a ambos lados: x >= 4

¡Escribiendo el dominio!

Dominio: [4, +infinito) (todos los números mayores o iguales a 4)

Ejemplo de pregunta 2:
Si f(x) = x + 1 y g(x) = x^2, encuentra f(g(x)).

Solución:
¡Función compuesta! f(g(x)) significa que metemos la función g(x) dentro de la función f(x).

¡Reemplazando!

Donde haya una x en f(x), ponemos g(x):

f(g(x)) = (x^2) + 1

¡f(g(x)) = x^2 + 1!

Ejemplo de pregunta 3:
Determina el dominio de la función racional f(x) = 3 / (x – 2).

Solución:
¡Denominador no puede ser cero! El denominador de una fracción no puede ser cero.

¡Encontrando el valor prohibido!

x – 2 = 0, entonces x = 2

¡Escribiendo el dominio!

Dominio: Todos los reales excepto 2.

Ejemplo de pregunta 4:
Si f(x) = |x| (valor absoluto de x), grafica la función.

Solución:
¡Entendiendo el valor absoluto! El valor absoluto convierte cualquier número en positivo.

¡Creando una tabla de valores!

Si x = -2, f(-2) = |-2| = 2
Si x = -1, f(-1) = |-1| = 1
Si x = 0, f(0) = |0| = 0
Si x = 1, f(1) = |1| = 1
Si x = 2, f(2) = |2| = 2

¡Graficando! La gráfica tiene forma de «V» con el vértice en (0, 0).

Semana 4: ¡Inecuaciones Sin Complicaciones! ¡Manejando las Inecuaciones!

Clase 7:

Inecuaciones lineales y cuadráticas. ¡Despeja el camino hacia las soluciones!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Resuelve la inecuación: 2x + 3 < 7.

Solución:
¡Restando 3! 2x < 7 – 3,

entonces 2x < 4

¡Dividiendo por 2!

x < 4 / 2, entonces x < 2

¡Solución en intervalo! Solución: (-infinito, 2) (todos los números menores que 2)

Ejemplo de pregunta 2:
Resuelve la inecuación: x^2 – 3x + 2 > 0.

Solución:
¡Factorizando! (x – 1)(x – 2) > 0

¡Encontrando los puntos críticos!

x = 1 y x = 2

¡Analizando los signos!

Si x < 1, ambos factores son negativos, el producto es positivo.
Si 1 < x < 2, el primer factor es positivo, el segundo negativo, el producto es negativo.
Si x > 2, ambos factores son positivos, el producto es positivo.

¡Solución! Solución: (-infinito, 1) U (2, +infinito)

Ejemplo de pregunta 3:
Resuelve la inecuación: 4x – 5 >= 2x + 1

Solución:
¡Moviendo las x! 4x – 2x >= 1 + 5, entonces 2x >= 6

¡Despejando x!

x >= 6 / 2, entonces x >= 3

¡Solución en intervalo! Solución: [3, +infinito)

Ejemplo de pregunta 4:
Resuelve la inecuación: x^2 – 4 <= 0

Solución:
¡Factorizando! (x – 2)(x + 2) <= 0

¡Puntos críticos! x = -2 y x = 2

¡Analizando los signos!

Si x < -2, ambos factores son negativos, el producto es positivo.
Si -2 <= x <= 2, el primer factor es negativo o cero, el segundo positivo o cero, el producto es negativo o cero.
Si x > 2, ambos factores son positivos, el producto es positivo.

¡Solución! Solución: [-2, 2]

Clase 8:

Inecuaciones con valor absoluto y racionales. ¡Aprende a manejar las restricciones!

Ejemplo de pregunta:
Resuelve la inecuación: |x – 1| < 3.

Solución:
Descompón la inecuación en dos casos: -3 < x – 1 < 3

Suma 1 a todos los lados:

-2 < x < 4

Solución: (-2, 4)

Ejemplo de pregunta 1:
Resuelve la inecuación: |x – 1| < 3.

Solución:
¡Descomponiendo el valor absoluto! -3 < x – 1 < 3

¡Sumando 1!

-3 + 1 < x < 3 + 1, entonces -2 < x < 4

¡Solución! Solución: (-2, 4)

Ejemplo de pregunta 2:
Resuelve la inecuación: (x + 2) / (x – 3) ≥ 0.

Solución:
¡Puntos críticos! x = -2 (numerador) y x = 3 (denominador)

¡Analizando los signos!

Si x < -2, ambos factores son negativos, el cociente es positivo.
Si -2 <= x < 3, el numerador es positivo o cero, el denominador es negativo, el cociente es negativo o cero.
Si x > 3, ambos factores son positivos, el cociente es positivo.

¡Solución!

Solución: (-infinito, -2] U (3, +infinito)

Ejemplo de pregunta 3:
Resuelve la inecuación: |2x + 1| ≥ 5

Solución:
¡Descomponiendo el valor absoluto! 2x + 1 ≥ 5 o 2x + 1 ≤ -5

¡Resolviendo la primera!

2x ≥ 4, entonces x ≥ 2

¡Resolviendo la segunda!

2x ≤ -6, entonces x ≤ -3

¡Solución!

Solución: (-infinito, -3] U [2, +infinito)

Ejemplo de pregunta 4:
Resuelve la inecuación: 1 / x < 2

Solución:
¡Cuidado con el signo de x! No podemos multiplicar directamente sin saber el signo de x.

¡Caso 1: x > 0!

Multiplicamos por x: 1 < 2x, entonces x > 1/2. Combinando con x > 0, tenemos x > 1/2.

¡Caso 2: x < 0!

Multiplicamos por x (cambia el signo): 1 > 2x, entonces x < 1/2. Combinando con x < 0, tenemos x < 0.

¡Solución! Solución: (-infinito, 0) U (1/2, +infinito)

Semana 5: ¡Límites al Horizonte! ¡Introducción a los Límites!

Clase 9:

Introducción al concepto de límite, cálculo de límites simples y límites laterales.

Ejemplo de pregunta:
Calcula el límite de f(x) = x^2 + 2x cuando x tiende a 3.

Solución:
Sustituye x por 3: (3)^2 + 2(3)

Calcula:

9 + 6 = 15

El límite es 15

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula el límite de f(x) = x^2 + 2x cuando x tiende a 3.

Solución:
¡Sustitución directa! Reemplazamos x por 3: (3)^2 + 2(3)

¡Calculando! 9 + 6 = 15

¡El límite es 15!

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el límite de f(x) = (x – 4) / (x – 4) cuando x tiende a 4.

Solución:
¡Simplificando! Para x no igual a 4, f(x) = 1

¡Calculando el límite! El límite cuando x tiende a 4 de 1 es 1.

¡El límite es 1!

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el límite de f(x) = 5 cuando x tiende a -2.

Solución:
¡Límite de una constante! El límite de una constante es la constante.

¡El límite es 5!

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula los límites laterales de f(x) = 1/x cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Límite por la derecha!

Límite cuando x tiende a 0 por la derecha de 1/x es +infinito.

¡Límite por la izquierda!

Límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de 1/x es -infinito.

¡Los límites laterales son diferentes!

El límite no existe.

Clase 10:

Límites infinitos y límites al infinito. ¡Entiende el comportamiento de las funciones en el extremo!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula el límite de f(x) = 1/x cuando x tiende a 0 por la derecha.

Solución:

¡Comportamiento cerca de cero!
A medida que x se acerca a 0 por valores positivos, 1/x se hace cada vez más grande.

¡El límite tiende a +infinito!

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el límite de f(x) = (2x + 1) / x cuando x tiende a infinito.

Solución:

¡Dividiendo por la mayor potencia!

Dividimos numerador y denominador por x: (2 + 1/x) / 1

¡Calculando el límite!

Límite cuando x tiende a infinito de 1/x es 0.

Entonces, (2 + 0) / 1 = 2

¡El límite es 2!

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el límite de f(x) = x^3 cuando x tiende a -infinito.

Solución:

¡Comportamiento de la potencia!

A medida que x se hace muy negativo, x^3 también se hace muy negativo.

¡El límite tiende a -infinito!

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula el límite de f(x) = 1 / (x^2 + 1) cuando x tiende a infinito.

Solución:

¡Comportamiento del denominador!

A medida que x se hace muy grande, x^2 + 1 también se hace muy grande.

¡El límite tiende a 0!

Semana 6: ¡Continuidad en el Punto! ¡Profundizando en la Continuidad!

Clase 11:

Continuidad de una función en un punto, tipos de discontinuidad.

 

Ejemplo de pregunta 1:
Determina si la función f(x) = (x^2 – 1) / (x – 1) es continua en x = 1.

Solución:

¡Calculando el límite!

Límite de (x^2 – 1) / (x – 1) cuando x tiende a 1 es 2 (simplificando la expresión).

¡Evaluando la función!

f(1) no está definida.

¡Comparando! El límite existe (2) pero no coincide con el valor de la función (no definida).

¡Discontinuidad removible! Hay una discontinuidad removible o reparable en x = 1.

Ejemplo de pregunta 2:
Determina si la función f(x) = { x + 1 si x < 2; 3 si x >= 2 } es continua en x = 2.

Solución:

¡Límite por la izquierda!

Límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de x + 1 es 3.

¡Límite por la derecha!

Límite cuando x tiende a 2 por la derecha de 3 es 3.

¡Valor de la función! f(2) = 3

¡Comparando!

El límite existe (3) y coincide con el valor de la función (3).

¡La función es continua en x = 2!

Ejemplo de pregunta 3:
Identifica los puntos de discontinuidad de la función f(x) = 1 / (x + 3).

Solución:

¡Denominador cero! El denominador es cero en x = -3.

¡Discontinuidad en x = -3!

Ejemplo de pregunta 4:

¿Es continua la función f(x) = |x| en x = 0?

Solución:

¡Límite por la izquierda!

Límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de |x| es 0.

¡Límite por la derecha!

Límite cuando x tiende a 0 por la derecha de |x| es 0.

¡Valor de la función! f(0) = |0| = 0

¡Comparando! El límite existe (0) y coincide con el valor de la función (0).

¡La función es continua en x = 0!

Clase 12:

Continuidad en un intervalo y el teorema del valor intermedio. ¡Conecta los puntos clave!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Aplica el teorema del valor intermedio para demostrar que la función f(x) = x^3 – 4x + 2 tiene una raíz, una solución o un cero en el intervalo [1, 2].

Solución:

¡Evaluando en los extremos!

f(1) = 1 – 4 + 2 = -1 y f(2) = 8 – 8 + 2 = 2

¡Cambiando de signo! La función cambia de signo en el intervalo [1, 2].

¡Función continua! La función es polinómica, por lo tanto, es continua en el intervalo [1, 2].

¡Conclusión! Por el teorema del valor intermedio, existe al menos una raíz en el intervalo [1, 2].

Ejemplo de pregunta 2:
¿Es continua la función f(x) = 1/x en el intervalo [1, 5]?

Solución:

¡Puntos de discontinuidad! La función tiene una discontinuidad en x = 0.

¡Intervalo sin problemas! El intervalo [1, 5] no contiene x = 0.

¡La función es continua en [1, 5]!

Ejemplo de pregunta 3:
Usa el teorema del valor intermedio para mostrar que la ecuación x^3 – 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [0, 1].

Solución:

¡Definiendo la función!

Sea f(x) = x^3 – 3x + 1

¡Evaluando en los extremos! f(0) = 1 y f(1) = 1 – 3 + 1 = -1

¡Cambio de signo y continuidad! f(x) es continua en [0, 1] y cambia de signo.

¡Existe una solución en [0, 1]!

Ejemplo de pregunta 4:
¿Es continua la función f(x) = raíz cuadrada de (x – 2) en el intervalo [2, +infinito)?

Solución:

¡Dominio de la raíz! La función está definida para x >= 2.

¡Continuidad de la raíz! La función raíz cuadrada es continua en su dominio.

¡La función es continua en [2, +infinito)!

Semana 7: ¡Preparándonos para Derivar!

Clase 13: Repaso general de los temas de Pre-Cálculo.

Clase 14: Ejercicios de aplicación y resolución de problemas tipo prueba. ¡Asegura tu éxito!

Semana 8: ¡Cierre con Broche de Oro!

Clase 15: Repaso final y resolución de dudas.

Clase 16: Simulación de prueba y retroalimentación personalizada. ¡Listo para brillar en Cálculo 1!

Programa de Cálculo (4 meses – 2 clases de 50 minutos por semana)

By Claudio Hurtado Coach Cálculo +56937780070
Este programa completo de 4 meses te guiará a través de los conceptos fundamentales del Cálculo 1, con un enfoque personalizado para que alcances tus metas. Cada clase de 50 minutos estará diseñada para maximizar tu aprendizaje y comprensión.

Mes 1: ¡Desafiando los Límites! ¡Dominando los Límites!

Semana 1:

Clase 1:

Repaso de límites y continuidad. ¡Asegura una base sólida!

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula el límite de f(x) = (x^2 – 3x + 2) / (x – 2) cuando x tiende a 2.

Solución:

¡Factorizando el numerador!

(x – 2)(x – 1) / (x – 2)

¡Simplificando!

x – 1 (para x no igual a 2)

¡Evaluando el límite! 2 – 1 = 1

¡El límite es 1!

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el límite de f(x) = (x^2 – 9) / (x + 3) cuando x tiende a -3.

Solución:

¡Factorizando!

(x – 3)(x + 3) / (x + 3)

¡Simplificando!

x – 3 (para x no igual a -3)

¡Evaluando! -3 – 3 = -6

¡El límite es -6!

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el límite de f(x) = (x^2 + 1) / (x – 1) cuando x tiende a 1.

Solución:

¡Sustituyendo! Si sustituimos directamente, obtenemos 2/0, lo que sugiere un límite infinito.

¡Límites laterales!

Límite cuando x tiende a 1 por la derecha: +infinito

Límite cuando x tiende a 1 por la izquierda: -infinito

¡El límite no existe! (o tiende a infinito, dependiendo del contexto)

Ejemplo de pregunta 4:
Determina si la función f(x) = { x^2 si x <= 1; 2x – 1 si x > 1 } es continua en x = 1.

Solución:

¡Límite por la izquierda!

Límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de x^2 es 1.

¡Límite por la derecha!

Límite cuando x tiende a 1 por la derecha de 2x – 1 es 1.

¡Valor de la función! f(1) = 1^2 = 1

¡Comparando! El límite existe (1) y coincide con el valor de la función.

¡La función es continua en x = 1!

Clase 2:

Límites indeterminados y técnicas de resolución (factorización, racionalización). ¡Domina los trucos del oficio!

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula el límite de f(x) = (raíz cuadrada de (x + 1) – 1) / x cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Multiplicando por el conjugado!

[(raíz cuadrada de (x + 1) – 1) / x] * [(raíz cuadrada de (x + 1) + 1) / (raíz cuadrada de (x + 1) + 1)]

¡Simplificando! (x + 1 – 1) / [x * (raíz cuadrada de (x + 1) + 1)] = x / [x * (raíz cuadrada de (x + 1) + 1)]

¡Cancelando x! 1 / (raíz cuadrada de (x + 1) + 1)

¡Evaluando el límite! 1 / (raíz cuadrada de (0 + 1) + 1) = 1/2

¡El límite es 1/2!

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el límite de f(x) = (x^3 – 8) / (x – 2) cuando x tiende a 2.

Solución:

¡Factorizando el numerador! (x – 2)(x^2 + 2x + 4) / (x – 2)

¡Simplificando! x^2 + 2x + 4 (para x no igual a 2)

¡Evaluando! 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

¡El límite es 12!

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el límite de f(x) = (raíz cuadrada de (x + 9) – 3) / x cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Multiplicando por el conjugado!

[(raíz cuadrada de (x + 9) – 3) / x] * [(raíz cuadrada de (x + 9) + 3) / (raíz cuadrada de (x + 9) + 3)]

¡Simplificando!

(x + 9 – 9) / [x * (raíz cuadrada de (x + 9) + 3)] = x / [x * (raíz cuadrada de (x + 9) + 3)]

¡Cancelando x!

1 / (raíz cuadrada de (x + 9) + 3)

¡Evaluando!

1 / (raíz cuadrada de (0 + 9) + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6

¡El límite es 1/6!

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula el límite de f(x) = (x – 1) / (raíz cúbica de x – 1) cuando x tiende a 1.

Solución:

¡Sustitución u!

Sea u = raíz cúbica de x, entonces x = u^3

¡Reescribiendo el límite!

Límite de (u^3 – 1) / (u – 1) cuando u tiende a 1

¡Factorizando!

(u – 1)(u^2 + u + 1) / (u – 1)

¡Simplificando!

u^2 + u + 1 (para u no igual a 1)

¡Evaluando!

1^2 + 1 + 1 = 3

¡El límite es 3!

 

Semana 2:

 

Clase 3:

Límites trigonométricos y límites especiales. ¡Navega por las funciones trigonométricas con maestría!

 

Ejemplo de pregunta:
Calcula el límite de f(x) = sen(x) / x cuando x tiende a 0.

Solución:

Este es un límite especial conocido, y su valor es 1.

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula el límite de f(x) = sen(x) / x cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Límite especial! Este es un límite especial cuyo valor es 1.

¡El límite es 1!

 

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el límite de f(x) = (1 – cos(x)) / x cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Multiplicando por el conjugado!

[(1 – cos(x)) / x] * [(1 + cos(x)) / (1 + cos(x))]

¡Simplificando!

(1 – cos^2(x)) / [x * (1 + cos(x))] = sen^2(x) / [x * (1 + cos(x))]

¡Reescribiendo!

[sen(x) / x] * [sen(x) / (1 + cos(x))]

¡Evaluando!

Límite de sen(x) / x cuando x tiende a 0 es 1. Límite de sen(x) / (1 + cos(x)) cuando x tiende a 0 es 0 / (1 + 1) = 0

¡El límite es 1 * 0 = 0!

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el límite de f(x) = tan(x) / x cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Reescribiendo!

tan(x) / x = [sen(x) / cos(x)] / x = [sen(x) / x] * [1 / cos(x)]

¡Evaluando!

Límite de sen(x) / x cuando x tiende a 0 es 1.

Límite de 1 / cos(x) cuando x tiende a 0 es 1 / 1 = 1

¡El límite es 1 * 1 = 1!

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula el límite de f(x) = sen(5x) / (3x) cuando x tiende a 0.

Solución:

¡Reescribiendo! [sen(5x) / (5x)] * [5 / 3]

¡Evaluando! Límite de sen(5x) / (5x) cuando x tiende a 0 es 1.

¡El límite es 1 * 5/3 = 5/3!

 

Clase 4:

Definición formal de límite (épsilon-delta). ¡Entiende el rigor matemático!

 

Ejemplo de pregunta:
Utiliza la definición épsilon-delta para demostrar que el límite de f(x) = 2x + 1 cuando x tiende a 2 es 5.

Solución:

Esta demostración es más extensa y requiere un manejo avanzado de desigualdades. Se enfoca en encontrar un delta en función de épsilon que cumpla la definición formal.

Ejemplo de pregunta 1:
Utiliza la definición épsilon-delta para demostrar que el límite de f(x) = 2x + 1 cuando x tiende a 2 es 5.

Solución:

¡Definición!

Queremos demostrar que para todo épsilon > 0, existe un delta > 0 tal que si 0 < |x – 2| < delta, entonces |(2x + 1) – 5| < épsilon.

¡Simplificando la desigualdad!

|2x – 4| < épsilon, entonces 2|x – 2| < épsilon, entonces |x – 2| < épsilon / 2

¡Eligiendo delta!

Elegimos delta = épsilon / 2

¡Demostración!

Si 0 < |x – 2| < delta, entonces |(2x + 1) – 5| = |2x – 4| = 2|x – 2| < 2(épsilon / 2) = épsilon.

¡La demostración está completa!

Ejemplo de pregunta 2:
Utiliza la definición épsilon-delta para demostrar que el límite de f(x) = 3x – 2 cuando x tiende a 1 es 1.

Solución:

¡Definición!

Queremos demostrar que para todo épsilon > 0, existe un delta > 0 tal que si 0 < |x – 1| < delta, entonces |(3x – 2) – 1| < épsilon.

¡Simplificando!

|3x – 3| < épsilon, entonces 3|x – 1| < épsilon, entonces |x – 1| < épsilon / 3

¡Eligiendo delta! Elegimos delta = épsilon / 3

¡Demostración! Si 0 < |x – 1| < delta, entonces |(3x – 2) – 1| = |3x – 3| = 3|x – 1| < 3(épsilon / 3) = épsilon.

¡La demostración está completa!

Ejemplo de pregunta 3:
Utiliza la definición épsilon-delta para demostrar que el límite de f(x) = x cuando x tiende a a es a.

Solución:

¡Definición!

Queremos demostrar que para todo épsilon > 0, existe un delta > 0 tal que si 0 < |x – a| < delta, entonces |x – a| < épsilon.

¡Eligiendo delta! Elegimos delta = épsilon

¡Demostración!

Si 0 < |x – a| < delta, entonces |x – a| < épsilon.

¡La demostración está completa!

 

Ejemplo de pregunta 4:
Utiliza la definición épsilon-delta para demostrar que el límite de f(x) = c (constante) cuando x tiende a a es c.

Solución:

¡Definición!

Queremos demostrar que para todo épsilon > 0, existe un delta > 0 tal que si 0 < |x – a| < delta, entonces |c – c| < épsilon.

¡Simplificando!

|0| < épsilon (siempre cierto)

¡Eligiendo delta! Cualquier delta > 0 funciona.

¡Demostración! Si 0 < |x – a| < delta, entonces |c – c| = 0 < épsilon.

¡La demostración está completa!

 

 

Semana 3:

 

Clase 5:

Asíntotas de una función (verticales, horizontales y oblicuas). ¡Descifra el comportamiento de las funciones!

Ejemplo de pregunta 1:
Determina las asíntotas de la función f(x) = (x^2 + 1) / (x – 1).

Solución:

¡Asíntota vertical!

Denominador cero en x = 1. Asíntota vertical en x = 1.

¡Asíntota horizontal!

Grado del numerador (2) > grado del denominador (1). No hay asíntota horizontal.

¡Asíntota oblicua!

Dividimos x^2 + 1 entre x – 1. Obtenemos x + 1 con residuo 2. Asíntota oblicua en y = x + 1.

¡Asíntotas! Vertical: x = 1, Oblicua: y = x + 1

Ejemplo de pregunta 2:
Determina las asíntotas de la función f(x) = (2x^2 – 3x) / (x^2 – 4).

Solución:

¡Asíntotas verticales!

Denominador cero en x = 2 y x = -2. Asíntotas verticales en x = 2 y x = -2.

¡Asíntota horizontal!

Grado del numerador = grado del denominador. Dividimos los coeficientes principales: y = 2/1 = 2. Asíntota horizontal en y = 2.

¡No hay asíntota oblicua!

¡Asíntotas! Verticales: x = 2 y x = -2, Horizontal: y = 2

Ejemplo de pregunta 3:
Determina las asíntotas de la función f(x) = (x + 3) / (x^2 + 1).

Solución:

¡Asíntotas verticales!

Denominador nunca es cero. No hay asíntotas verticales.

¡Asíntota horizontal!

Grado del numerador < grado del denominador. Asíntota horizontal en y = 0.

¡No hay asíntota oblicua!

¡Asíntota! Horizontal: y = 0

Ejemplo de pregunta 4:
Determina las asíntotas de la función f(x) = (x^3 + 2x) / (x^2 – 1).

Solución:

¡Asíntotas verticales!

Denominador cero en x = 1 y x = -1. Asíntotas verticales en x = 1 y x = -1.

¡Asíntota horizontal!

Grado del numerador > grado del denominador.

No hay asíntota horizontal.

¡Asíntota oblicua!

Dividimos x^3 + 2x entre x^2 – 1.

Obtenemos x con residuo 3x.

Asíntota oblicua en y = x.

¡Asíntotas! Verticales: x = 1 y x = -1, Oblicua: y = x

 

Clase 6:

Aplicaciones de los límites al análisis de funciones. ¡Lleva los límites al mundo real!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Analiza la continuidad de la función f(x) = { x^2 si x < 0; x si 0 <= x < 1; 2 – x si x >= 1 }

Solución:

¡Continuidad en x = 0!

Límite por la izquierda:

Límite de x^2 cuando x tiende a 0 es 0.

Límite por la derecha:

Límite de x cuando x tiende a 0 es 0.

Valor de la función: f(0) = 0

La función es continua en x = 0.

¡Continuidad en x = 1!

Límite por la izquierda:

Límite de x cuando x tiende a 1 es 1.

Límite por la derecha:

Límite de 2 – x cuando x tiende a 1 es 1.

Valor de la función: f(1) = 2 – 1 = 1

La función es continua en x = 1.

¡Conclusión!
La función es continua en todos los reales.

Ejemplo de pregunta 2:
Encuentra las asíntotas de la función f(x) = (x^2 + 1) / x y analiza su comportamiento cerca de las asíntotas.

Solución:

¡Asíntota vertical!

Denominador cero en x = 0. Asíntota vertical en x = 0.

¡Comportamiento cerca de x = 0!

Cuando x tiende a 0 por la derecha, f(x) tiende a +infinito.

Cuando x tiende a 0 por la izquierda, f(x) tiende a -infinito.

¡Asíntota oblicua!

Dividimos x^2 + 1 entre x.

Obtenemos x con residuo 1.

Asíntota oblicua en y = x.

¡Comportamiento cuando x tiende a infinito!

f(x) se acerca a la línea y = x.

Ejemplo de pregunta 3:
Analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x^3 – 3x.

Solución:

¡Calculando la derivada!

f'(x) = 3x^2 – 3

¡Encontrando los puntos críticos!

3x^2 – 3 = 0, entonces x^2 = 1, entonces x = 1 y x = -1.

¡Analizando el signo de la derivada!

Si x < -1, f'(x) > 0 (creciente)

Si -1 < x < 1, f'(x) < 0 (decreciente)

Si x > 1, f'(x) > 0 (creciente)

¡Conclusión!

Creciente en (-infinito, -1) U (1, +infinito),

decreciente en (-1, 1)

Ejemplo de pregunta 4:
Encuentra los máximos y mínimos locales de la función f(x) = x^4 – 4x^3 + 4x^2.

Solución:

¡Calculando la derivada!

f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 8x

¡Encontrando los puntos críticos!

4x^3 – 12x^2 + 8x = 0, entonces 4x(x^2 – 3x + 2) = 0, entonces 4x(x – 1)(x – 2) = 0, entonces x = 0, x = 1, x = 2.

¡Analizando el signo de la derivada!

Si x < 0, f'(x) < 0

Si 0 < x < 1, f'(x) > 0

Si 1 < x < 2, f'(x) < 0

Si x > 2, f'(x) > 0

¡Conclusión!

Mínimo local en x = 0

Máximo local en x = 1

Mínimo local en x = 2

 

Semana 4:

 

Clase 7:

Repaso de los temas de límites.

Clase 8:

Ejercicios de aplicación y resolución de problemas tipo prueba. ¡Aplica lo aprendido!

Mes 2: ¡El Poder de la Derivada! ¡Descubriendo las Derivadas!

 

Semana 5:

 

Clase 9:

Introducción a la derivada: definición, interpretación geométrica y física. ¡Visualiza el cambio!

 

Ejemplo de pregunta:
Calcula la derivada de f(x) = x^2 utilizando la definición de derivada.

Solución: Esta solución implica aplicar la definición del límite de la derivada

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula la derivada de f(x) = x^2 utilizando la definición de derivada.

Solución:

¡Definición de derivada!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [f(x + h) – f(x)] / h

¡Reemplazando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [(x + h)^2 – x^2] / h

¡Desarrollando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [x^2 + 2xh + h^2 – x^2] / h

¡Simplificando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [2xh + h^2] / h

¡Factorizando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de h(2x + h) / h

¡Cancelando h!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de 2x + h

¡Evaluando el límite!

f'(x) = 2x + 0 = 2x

¡La derivada es 2x!

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la derivada de f(x) = 3x – 5 utilizando la definición de derivada.

Solución:

¡Definición!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [f(x + h) – f(x)] / h

¡Reemplazando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [3(x + h) – 5 – (3x – 5)] / h

¡Simplificando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de [3x + 3h – 5 – 3x + 5] / h

¡Simplificando!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de 3h / h

¡Cancelando h!

f'(x) = límite cuando h tiende a 0 de 3

¡La derivada es 3!

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x^2 en el punto x = 2.

Solución:

¡Derivada!

f'(x) = 2x

¡Pendiente!

f'(2) = 2(2) = 4 (la pendiente de la recta tangente en x = 2 es 4)

¡Punto!

El punto es (2, f(2)) = (2, 2^2) = (2, 4)

¡Ecuación de la recta!

y – y1 = m(x – x1), entonces y – 4 = 4(x – 2)

¡Ecuación!

y = 4x – 8 + 4, entonces y = 4x – 4

¡La ecuación de la recta tangente es y = 4x – 4!

Ejemplo de pregunta 4:
Si la posición de un objeto en el tiempo está dada por s(t) = t^3, encuentra la velocidad instantánea en t = 2.

Solución:

¡Velocidad instantánea!

La velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo: v(t) = s'(t)

¡Derivada!

s'(t) = 3t^2

¡Velocidad en t = 2! v(2) = 3(2^2) = 3(4) = 12

¡La velocidad instantánea en t = 2 es 12!

Clase 10:

Reglas de derivación básicas (potencia, producto, cociente). ¡Domina las herramientas fundamentales!

Ejemplo de pregunta 1:
Deriva la función f(x) = 3x^4 – 5x^2 + 2x – 7.

Solución:

¡Regla de la potencia!

d/dx (x^n) = nx^(n-1)

¡Derivando cada término!

d/dx (3x^4) = 12x^3

d/dx (-5x^2) = -10x

d/dx (2x) = 2

d/dx (-7) = 0

¡Derivada!

f'(x) = 12x^3 – 10x + 2

Ejemplo de pregunta 2:
Deriva la función f(x) = x^2 * sen(x).

Solución:

¡Regla del producto!

d/dx (u * v) = u’ * v + u * v’

¡Identificando u y v!

u = x^2, v = sen(x)

¡Derivadas de u y v!

u’ = 2x, v’ = cos(x)

¡Aplicando la regla!

f'(x) = 2x * sen(x) + x^2 * cos(x)

Ejemplo de pregunta 3:
Deriva la función f(x) = cos(x) / x.

Solución:

¡Regla del cociente!

d/dx (u / v) = (u’ * v – u * v’) / v^2

¡Identificando u y v!

u = cos(x), v = x

¡Derivadas de u y v!

u’ = -sen(x), v’ = 1

¡Aplicando la regla!

f'(x) = (-sen(x) * x – cos(x) * 1) / x^2

¡Derivada!

f'(x) = (-x * sen(x) – cos(x)) / x^2

Ejemplo de pregunta 4:

Deriva la función f(x) = 5 / x^3

Solución:

¡Reescribiendo!

f(x) = 5x^-3

¡Regla de la potencia!

d/dx (5x^-3) = 5 * -3 * x^-4

¡Derivada!

f'(x) = -15x^-4 = -15 / x^4

 

Semana 6:

Clase 11:

Regla de la cadena. ¡Deriva funciones compuestas como un experto!

Ejemplo de pregunta 1:
Deriva la función f(x) = sen(x^2).

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = sen(x), g(x) = x^2

¡Derivadas!

f'(x) = cos(x), g'(x) = 2x

¡Aplicando la regla!

f'(x) = cos(x^2) * 2x

¡Derivada!

f'(x) = 2x * cos(x^2)

Ejemplo de pregunta 2:
Deriva la función f(x) = raíz cuadrada de (x^3 + 1)

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = raíz cuadrada de x = x^(1/2), g(x) = x^3 + 1

¡Derivadas!

f'(x) = (1/2)x^(-1/2), g'(x) = 3x^2

¡Aplicando la regla!

f'(x) = (1/2)(x^3 + 1)^(-1/2) * 3x^2

¡Derivada!

f'(x) = (3x^2) / (2 * raíz cuadrada de (x^3 + 1))

Ejemplo de pregunta 3:
Deriva la función f(x) = cos^3(x)

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = x^3, g(x) = cos(x)

¡Derivadas!

f'(x) = 3x^2, g'(x) = -sen(x)

¡Aplicando la regla!

f'(x) = 3cos^2(x) * -sen(x)

¡Derivada!

f'(x) = -3sen(x)cos^2(x)

Ejemplo de pregunta 4:
Deriva la función f(x) = e^(tan(x))

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = e^x, g(x) = tan(x)

¡Derivadas!

f'(x) = e^x, g'(x) = sec^2(x)

¡Aplicando la regla!

f'(x) = e^(tan(x)) * sec^2(x)

¡Derivada! f'(x) = sec^2(x) * e^(tan(x))

Clase 12:

Derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. ¡Amplía tu arsenal de derivación!

Ejemplo de pregunta 1:
Deriva la función f(x) = e^(2x) * cos(x).

Solución:

¡Regla del producto!

d/dx (u * v) = u’ * v + u * v’

¡Identificando u y v!

u = e^(2x), v = cos(x)

¡Derivadas!

u’ = 2e^(2x) (regla de la cadena), v’ = -sen(x)

¡Aplicando la regla!

f'(x) = 2e^(2x) * cos(x) + e^(2x) * -sen(x)

¡Derivada!

f'(x) = 2e^(2x)cos(x) – e^(2x)sen(x)

Ejemplo de pregunta 2:
Deriva la función f(x) = ln(x^2 + 1)

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = ln(x), g(x) = x^2 + 1

¡Derivadas!

f'(x) = 1/x, g'(x) = 2x

¡Aplicando la regla!

f'(x) = (1 / (x^2 + 1)) * 2x

¡Derivada!

f'(x) = 2x / (x^2 + 1)

Ejemplo de pregunta 3:
Deriva la función f(x) = sen(e^x)

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = sen(x), g(x) = e^x

¡Derivadas!

f'(x) = cos(x), g'(x) = e^x

¡Aplicando la regla!

f'(x) = cos(e^x) * e^x

¡Derivada! f'(x) = e^x * cos(e^x)

Ejemplo de pregunta 4:
Deriva la función f(x) = tan(ln(x))

Solución:

¡Regla de la cadena!

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

¡Identificando f(x) y g(x)!

f(x) = tan(x), g(x) = ln(x)

¡Derivadas!

f'(x) = sec^2(x), g'(x) = 1/x

¡Aplicando la regla!

f'(x) = sec^2(ln(x)) * (1/x)

¡Derivada! f'(x) = sec^2(ln(x)) / x

Ejemplo de pregunta 5:
Deriva la función f(x) = 2^(sen(x))

Solución:

¡Regla de la cadena!

¡Derivada de a^x!

d/dx (a^x) = a^x * ln(a)

¡Aplicando!

f'(x) = 2^(sen(x)) * ln(2) * cos(x)

Ejemplo de pregunta 6:
Deriva la función f(x) = log3(x^2)

Solución:

¡Cambio de base!

loga(b) = ln(b) / ln(a)

¡Reescribiendo!

f(x) = ln(x^2) / ln(3)

¡Derivando!

f'(x) = (1 / ln(3)) * (2x / x^2)

¡Simplificando!

f'(x) = 2 / (x * ln(3))

Ejemplo de pregunta 7:
Deriva la función f(x) = arcsen(x/2)

Solución:

¡Regla de la cadena!

¡Derivada de arcsen(x)!

d/dx (arcsen(x)) = 1 / raíz cuadrada de (1 – x^2)

¡Aplicando!

f'(x) = (1 / raíz cuadrada de (1 – (x/2)^2)) * (1/2)

¡Simplificando!

f'(x) = 1 / (2 * raíz cuadrada de (1 – x^2 / 4))

Ejemplo de pregunta 8:
Deriva la función f(x) = arctan(e^x)

Solución:

¡Regla de la cadena!

¡Derivada de arctan(x)!

d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)

¡Aplicando!

f'(x) = (1 / (1 + (e^x)^2)) * e^x

¡Derivada!

f'(x) = e^x / (1 + e^(2x))

Semana 7:

Clase 13:

Derivación implícita. ¡Deriva funciones definidas implícitamente!

Ejemplo de pregunta 2:
Encuentra dy/dx si x * y = sen(x + y).

Solución:

¡Derivando ambos lados!

d/dx (x * y) = d/dx (sen(x + y))

¡Regla del producto!
1 * y + x * dy/dx = cos(x + y) * (1 + dy/dx)

¡Despejando dy/dx!

y + x * dy/dx = cos(x + y) + cos(x + y) * dy/dx

¡Aislamos dy/dx!

x * dy/dx – cos(x + y) * dy/dx = cos(x + y) – y

¡Factorizamos!

dy/dx (x – cos(x + y)) = cos(x + y) – y

¡Solución!

dy/dx = (cos(x + y) – y) / (x – cos(x + y))

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva x^3 + y^3 = 6xy en el punto (3, 3).

Solución:

¡Derivando implícitamente!

3x^2 + 3y^2 * dy/dx = 6y + 6x * dy/dx

¡Evaluando en (3, 3)!

27 + 27 * dy/dx = 18 + 18 * dy/dx

¡Despejando dy/dx!

9 * dy/dx = -9

¡Pendiente!

dy/dx = -1

¡Ecuación de la recta!

y – 3 = -1(x – 3)

¡Recta tangente! y = -x + 6

 

Ejemplo de pregunta 4:
Encuentra dy/dx si tan(x/y) = x.

Solución:

¡Derivando!

sec^2(x/y) * (1 * y – x * dy/dx) / y^2 = 1

¡Simplificando!

sec^2(x/y) * (y – x * dy/dx) = y^2

¡Despejando dy/dx!

y – x * dy/dx = y^2 / sec^2(x/y) = y^2 * cos^2(x/y)

¡Aislamos dy/dx!

x * dy/dx = y – y^2 * cos^2(x/y)

¡Solución! dy/dx = (y – y^2 * cos^2(x/y)) / x

 

Clase 14:

Derivadas de orden superior. ¡Encuentra la razón de cambio de la razón de cambio!

Ejemplo de pregunta:
Encuentra la segunda derivada de f(x) = x^3 – 6x^2.
Solución: f»(x) = 6x – 12

Ejemplo de pregunta 2:
Encuentra la segunda derivada de f(x) = sen(2x).

Solución:

¡Primera derivada!

f'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)

¡Segunda derivada!

f»(x) = -2sen(2x) * 2 = -4sen(2x)

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra la tercera derivada de f(x) = e^(4x).

Solución:

¡Primera derivada!

f'(x) = 4e^(4x)

¡Segunda derivada!

f»(x) = 16e^(4x)

¡Tercera derivada!

f»'(x) = 64e^(4x)

Ejemplo de pregunta 4:
Encuentra la segunda derivada de f(x) = x * ln(x).

Solución:

¡Primera derivada!

f'(x) = 1 * ln(x) + x * (1/x) = ln(x) + 1

¡Segunda derivada!

f»(x) = 1/x

 

Semana 8:

Clase 15:

Repaso de los temas de derivadas.

Clase 16:

Ejercicios de aplicación y resolución de problemas tipo prueba. ¡Pon a prueba tus habilidades!

 

Mes 3: ¡Aplicaciones de la Derivada!

Semana 9:

 

Clase 17:

Razones de cambio relacionadas. ¡Conecta las derivadas con el mundo real!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Un globo esférico se infla de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm^3/s. ¿Con qué rapidez aumenta el radio del globo cuando el radio es de 5 cm?

Solución:

¡Volumen de una esfera!

V = (4/3) * pi * r^3

¡Derivando con respecto al tiempo!

dV/dt = 4 * pi * r^2 * dr/dt

¡Datos!

dV/dt = 100 cm^3/s, r = 5 cm

¡Despejando dr/dt!

dr/dt = (dV/dt) / (4 * pi * r^2)

¡Sustituyendo!

dr/dt = 100 / (4 * pi * 5^2) = 1 / pi cm/s

 

Ejemplo de pregunta 2:
Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una velocidad de 500 mi/h. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia desde un observador en el suelo directamente debajo del avión cuando el avión está a 2 millas del observador?

Solución:

¡Diagrama! Forma un triángulo rectángulo.

¡Relación!

x^2 + 1^2 = s^2 (donde x es la distancia horizontal y s es la distancia al observador)

¡Derivando!

2x * dx/dt = 2s * ds/dt

¡Datos!

dx/dt = 500 mi/h, x = 2 mi, s = raíz cuadrada de (2^2 + 1^2) = raíz cuadrada de 5

¡Despejando ds/dt!

ds/dt = (x * dx/dt) / s

¡Sustituyendo!

ds/dt = (2 * 500) / raíz cuadrada de 5 = 200 * raíz cuadrada de 5 mi/h

Ejemplo de pregunta 3:
Un tanque cónico invertido tiene una altura de 10 m y un radio de base de 4 m. El agua entra al tanque a razón de 20 m^3/min. ¿Con qué rapidez aumenta el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 m?

Solución:

¡Volumen de un cono!

V = (1/3) * pi * r^2 * h

¡Relación entre r y h!

r/h = 4/10, entonces r = (2/5)h

¡Volumen en términos de h!

V = (1/3) * pi * ((2/5)h)^2 * h = (4/75) * pi * h^3

¡Derivando!

dV/dt = (4/25) * pi * h^2 * dh/dt

¡Datos!

dV/dt = 20 m^3/min, h = 5 m

¡Despejando dh/dt!

dh/dt = (dV/dt) / ((4/25) * pi * h^2)

¡Sustituyendo!

dh/dt = 20 / ((4/25) * pi * 5^2) = 4 / pi m/min

Ejemplo de pregunta 4:
Dos coches se acercan a una intersección, uno viaja hacia el este a 15 m/s y el otro hacia el norte a 20 m/s. ¿Con qué rapidez se acercan el uno al otro?

Solución:

¡Diagrama!

Forma un triángulo rectángulo.

¡Relación!

x^2 + y^2 = s^2 (donde x e y son las distancias de los coches a la intersección, y s es la distancia entre ellos)

¡Derivando!

2x * dx/dt + 2y * dy/dt = 2s * ds/dt

¡Datos!

dx/dt = -15 m/s, dy/dt = -20 m/s (negativos porque las distancias disminuyen)

¡En un instante dado!

Necesitamos x e y para un instante específico (falta información). Supongamos que x = 300 m e y = 400 m. Entonces s = 500 m.

¡Despejando ds/dt!

ds/dt = (x * dx/dt + y * dy/dt) / s

¡Sustituyendo!

ds/dt = (300 * -15 + 400 * -20) / 500 = -25 m/s

¡Se acercan a 25 m/s!

 

Clase 18:

Análisis de funciones: crecimiento, decrecimiento, concavidad. ¡Descubre la forma de las funciones!

 

Ejemplo de pregunta 2:
Encuentra los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la función f(x) = x^4 – 6x^2 + 8x + 10.

Solución:

¡Primera derivada!

f'(x) = 4x^3 – 12x + 8

¡Segunda derivada!

f»(x) = 12x^2 – 12

¡Puntos de inflexión!

12x^2 – 12 = 0, entonces x^2 = 1, entonces x = 1 y x = -1

¡Analizando la concavidad!

Si x < -1, f»(x) > 0 (cóncava hacia arriba)

Si -1 < x < 1, f»(x) < 0 (cóncava hacia abajo)

Si x > 1, f»(x) > 0 (cóncava hacia arriba)

¡Puntos de inflexión!

(-1, f(-1)) y (1, f(1))

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra los extremos relativos de la función f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x.

Solución:

¡Primera derivada!

f'(x) = 3x^2 – 12x + 9

¡Puntos críticos! 3x^2 – 12x + 9 = 0, entonces x^2 – 4x + 3 = 0, entonces (x – 1)(x – 3) = 0, entonces x = 1 y x = 3

¡Segunda derivada!

f»(x) = 6x – 12

¡Criterio de la segunda derivada!

f»(1) = 6 – 12 = -6 < 0 (máximo relativo en x = 1)

f»(3) = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo relativo en x = 3)

¡Extremos!

Máximo relativo en (1, f(1)), mínimo relativo en (3, f(3))

Ejemplo de pregunta 4:
Analiza el crecimiento, decrecimiento y concavidad de la función f(x) = x / (x^2 + 1).

Solución:

¡Primera derivada!

f'(x) = (1 * (x^2 + 1) – x * 2x) / (x^2 + 1)^2 = (1 – x^2) / (x^2 + 1)^2

¡Puntos críticos!

1 – x^2 = 0, entonces x = 1 y x = -1

¡Segunda derivada!

(Más compleja de calcular)

¡Análisis!

(Se analizaría el signo de la primera y segunda derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos y los puntos de discontinuidad)

 

Semana 10:

 

Clase 19:

Valores extremos de una función (máximos y mínimos). ¡Encuentra los puntos críticos!

Ejemplo de pregunta 1:
Encuentra los valores máximos y mínimos locales de la función f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x.

Solución: (Esta solución implica encontrar los puntos críticos y usar el criterio de la primera o segunda derivada).

Ejemplo de pregunta 2:
Encuentra los valores extremos absolutos de la función f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x en el intervalo [0, 2].

Solución:

¡Puntos críticos!

x = 1 y x = 3. Solo x = 1 está en el intervalo.

¡Evaluando en los extremos y puntos críticos!

f(0) = 0
f(1) = 1 – 6 + 9 = 4
f(2) = 8 – 24 + 18 = 2

¡Extremos absolutos!

Máximo absoluto: 4 en x = 1

Mínimo absoluto: 0 en x = 0

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra el punto de la curva y = x^2 más cercano al punto (3, 0).

Solución:

¡Distancia!

d = raíz cuadrada de ((x – 3)^2 + (y – 0)^2)

¡Sustituyendo y!

d = raíz cuadrada de ((x – 3)^2 + (x^2)^2)

¡Minimizando la distancia al cuadrado!

D = (x – 3)^2 + x^4

¡Derivando!

D’ = 2(x – 3) + 4x^3

¡Puntos críticos!

2x – 6 + 4x^3 = 0, entonces 2x^3 + x – 3 = 0 (difícil de resolver analíticamente)

¡Resolviendo numéricamente!

(Se encontraría la raíz de esta ecuación cúbica)

¡Encontrando el punto! (El valor de x encontrado sería la coordenada x del punto, y la coordenada y sería x^2)

Ejemplo de pregunta 4:
Un rectángulo tiene su base sobre el eje x y sus vértices superiores sobre la parábola y = 12 – x^2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con mayor área?

Solución:

¡Área del rectángulo!

A = 2x * y = 2x(12 – x^2) = 24x – 2x^3

¡Derivando!

A’ = 24 – 6x^2

¡Puntos críticos!

24 – 6x^2 = 0, entonces x^2 = 4, entonces x = 2

¡Dimensiones!

Base: 2x = 4

Altura: y = 12 – 2^2 = 8

 

Clase 20:

Optimización: aplicaciones de los valores extremos. ¡Resuelve problemas de optimización!

 

Ejemplo de pregunta:
Un granjero quiere cercar un área rectangular de 100 metros cuadrados. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para minimizar la cantidad de cerca utilizada?

Solución:

(Este es un problema de optimización que involucra la creación de una función objetivo y la búsqueda de sus extremos).

Ejemplo de pregunta 2:
Se va a construir una caja rectangular sin tapa con una base cuadrada y un volumen de 108 pulgadas cúbicas. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de material?

Solución:

¡Volumen!

V = x^2 * h = 108

¡Área superficial!

A = x^2 + 4xh (base + 4 lados)

¡Despejando h!

h = 108 / x^2

¡Sustituyendo en A!

A = x^2 + 4x(108 / x^2) = x^2 + 432 / x

¡Derivando!

A’ = 2x – 432 / x^2

¡Puntos críticos!

2x – 432 / x^2 = 0, entonces 2x^3 = 432, entonces x^3 = 216, entonces x = 6

¡Dimensiones!

Base: 6 pulgadas x 6 pulgadas
Altura: h = 108 / 6^2 = 3 pulgadas

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en un cono de radio 6 cm y altura 14 cm.

Solución:

¡Volumen del cilindro!

V = pi * r^2 * h

¡Relación entre r y h!

(Usando triángulos semejantes) r / (6 – R) = 14 / 6 (donde R y h son el radio y la altura del cilindro)

¡Despejando h!

h = (14/6) * (6 – R) = (7/3) * (6 – R)

¡Volumen en términos de R!

V = pi * R^2 * (7/3) * (6 – R)

¡Derivando!

V’ (más complejo de calcular)

¡Puntos críticos!

(Se encontrarían los valores de R que hacen V’ = 0)

¡Dimensiones!

(Se calcularían las dimensiones del cilindro con el valor de R encontrado)

Ejemplo de pregunta 4:
Un granjero quiere cercar un área rectangular y dividirla en tres corrales iguales colocando dos cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Si el área total a cercar es de 10000 metros cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones del cercado que requiere la menor cantidad de cerca?

Solución:

¡Área!

A = x * y = 10000

¡Perímetro (cantidad de cerca)!

P = 2x + 4y

¡Despejando y!

y = 10000 / x

¡Sustituyendo en P!

P = 2x + 4(10000 / x) = 2x + 40000 / x

¡Derivando!

P’ = 2 – 40000 / x^2

¡Puntos críticos!

2 – 40000 / x^2 = 0, entonces x^2 = 20000, entonces x = 100 * raíz cuadrada de 2

¡Dimensiones!

x = 100 * raíz cuadrada de 2 metros
y = 10000 / x = 50 * raíz cuadrada de 2 metros

 

Semana 11:

 

Clase 21:

Teorema de Rolle y teorema del valor medio. ¡Entiende los teoremas clave del Cálculo!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Verifica si la función f(x) = x^2 – 4x + 5 satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4] y, de ser así, encuentra todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle.

Solución:

¡Hipótesis!

f(x) es continua en [0, 4]: Sí (polinómica)

f(x) es derivable en (0, 4): Sí (polinómica)

f(0) = f(4): f(0) = 5, f(4) = 16 – 16 + 5 = 5. Sí.

¡Conclusión!

Existe c en (0, 4) tal que f'(c) = 0.

¡Derivada!

f'(x) = 2x – 4

¡Igualando a cero!

2c – 4 = 0, entonces c = 2

¡c = 2 satisface la conclusión!

Ejemplo de pregunta 2:
Verifica si la función f(x) = raíz cuadrada de (x – 1) satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y, de ser así, encuentra todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio.

Solución:

¡Hipótesis!

f(x) es continua en [1, 3]: Sí (raíz cuadrada)

f(x) es derivable en (1, 3): Sí (excepto en x = 1)

¡Conclusión!

Existe c en (1, 3) tal que f'(c) = (f(3) – f(1)) / (3 – 1)

¡Derivada!

f'(x) = 1 / (2 * raíz cuadrada de (x – 1))

¡Calculando (f(3) – f(1)) / (3 – 1)!

(raíz cuadrada de 2 – 0) / 2 = raíz cuadrada de 2 / 2

¡Igualando!

1 / (2 * raíz cuadrada de (c – 1)) = raíz cuadrada de 2 / 2

¡Despejando c!

(Se resuelve esta ecuación)

¡c satisface la conclusión!

Ejemplo de pregunta 3:
Dada la función f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x, encuentra el valor de c que satisface el teorema de Rolle en el intervalo [0, 2].

Solución:

¡Hipótesis!

f(x) es continua en [0, 2]: Sí (polinómica)
f(x) es derivable en (0, 2): Sí (polinómica)
f(0) = f(2): f(0) = 0, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0. Sí.

¡Derivada!

f'(x) = 3x^2 – 6x + 2

¡Igualando a cero!

3c^2 – 6c + 2 = 0

¡Resolviendo la ecuación cuadrática!

(Se usa la fórmula cuadrática)

¡Encontrando los valores de c en el intervalo!

Ejemplo de pregunta 4:
Encuentra el valor de c que satisface el teorema del valor medio para la función f(x) = x^2 en el intervalo [1, 3].

Solución:

¡Hipótesis!

f(x) es continua en [1, 3]: Sí (polinómica)
f(x) es derivable en (1, 3): Sí (polinómica)

¡Derivada!

f'(x) = 2x

¡Calculando!

(f(3) – f(1)) / (3 – 1)! (9 – 1) / 2 = 4

¡Igualando!

2c = 4

¡c = 2 satisface la conclusión!

 

Clase 22:

Regla de L’Hôpital. ¡Domina las formas indeterminadas con esta poderosa herramienta!

 

Ejemplo de pregunta 1:
Calcula el límite de f(x) = sen(x) / x cuando x tiende a 0 utilizando la regla de L’Hôpital.

Solución:

(Esta solución implica aplicar la regla de L’Hôpital para resolver la indeterminación).

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el límite de f(x) = ln(x) / x cuando x tiende a infinito.

Solución:

¡Forma indeterminada!

infinito / infinito

¡Aplicando L’Hôpital!

Límite de (1/x) / 1 cuando x tiende a infinito

¡Evaluando!

0 / 1 = 0

¡El límite es 0!

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el límite de f(x) = x / e^x cuando x tiende a infinito.

Solución:

¡Forma indeterminada!

infinito / infinito

¡Aplicando L’Hôpital!

Límite de 1 / e^x cuando x tiende a infinito

¡Evaluando!

1 / infinito = 0

¡El límite es 0!

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula el límite de f(x) = x * sen(1/x) cuando x tiende a infinito.

Solución:

¡Reescribiendo!

f(x) = sen(1/x) / (1/x)

¡Sustitución!

Sea u = 1/x. Cuando x tiende a infinito, u tiende a 0.

¡Límite!

Límite de sen(u) / u cuando u tiende a 0.

¡Límite especial!

Este límite es 1.

¡El límite es 1!

 

Semana 12:

 

Clase 23: Repaso de los temas de aplicaciones de la derivada.

Clase 24: Ejercicios de aplicación y resolución de problemas tipo prueba. ¡Aplica la derivada a problemas complejos!

Mes 4: ¡Integrales al Rescate! ¡Introducción a las Integrales!

 

Semana 13:

Clase 25:

Introducción a la integral: definición, interpretación geométrica y física. ¡Entiende la operación inversa de la derivada!

 

Ejemplo de pregunta:
Calcula la integral indefinida de f(x) = 2x.

Solución:

La integral es x^2 + C (donde C es la constante de integración).

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la integral indefinida de f(x) = x^3 – 4x + 5.

Solución:

¡Regla de la potencia para integrales!

Integral de x^n = (x^(n+1)) / (n+1) + C

¡Aplicando la regla!

Integral de x^3 = (x^4) / 4

¡Aplicando la regla!

Integral de -4x = -2x^2

¡Integral de 5!

Integral de 5 = 5x

¡Integral indefinida!

(x^4) / 4 – 2x^2 + 5x + C

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula la integral indefinida de f(x) = sen(x) – cos(x).

Solución:

¡Integral de sen(x)!

Integral de sen(x) = -cos(x) + C

¡Integral de -cos(x)!

Integral de -cos(x) = -sen(x) + C

¡Integral indefinida!

-cos(x) – sen(x) + C

 

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula la integral indefinida de f(x) = e^(3x).

Solución:

¡Regla de la sustitución!

(Inversa de la regla de la cadena)

¡Sustitución!

u = 3x, du = 3dx, dx = du/3

¡Reemplazando!

Integral de e^u * (du/3) = (1/3) * Integral de e^u du

¡Integral de e^u!

Integral de e^u du = e^u + C

¡Integral indefinida!

(1/3) * e^(3x) + C

 

Clase 26:

Integral indefinida y técnicas de integración básicas (sustitución). ¡Domina las primeras técnicas de integración!

 

Ejemplo de pregunta:
Calcula la integral indefinida de f(x) = 2x * (x^2 + 1)^3.

Solución:

(Esta solución implica usar la técnica de sustitución).

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la integral indefinida de f(x) = cos(x) * sen^2(x).

Solución:

¡Integración por Sustitución!

u = sen(x), du = cos(x) dx

¡Reemplazando!

Integral de u^2 du

¡Aplicando la regla de la potencia!

(u^3) / 3 + C

¡Integral indefinida!

(sen^3(x)) / 3 + C

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula la integral indefinida de f(x) = x / (x^2 + 4).

Solución:

¡Sustitución!

u = x^2 + 4, du = 2x dx, x dx = du/2

¡Reemplazando!

Integral de (1/u) * (du/2) = (1/2) * Integral de (1/u) du

¡Integral de 1/u!

Integral de (1/u) du = ln|u| + C

¡Integral indefinida!

(1/2) * ln(x^2 + 4) + C

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula la integral indefinida de f(x) = e^x * raíz cuadrada de (e^x + 1).

Solución:

¡Sustitución!

u = e^x + 1, du = e^x dx

¡Reemplazando!

Integral de raíz cuadrada de u du = Integral de u^(1/2) du

¡Aplicando la regla de la potencia!

(u^(3/2)) / (3/2) + C = (2/3) * u^(3/2) + C

¡Integral indefinida! (2/3) * (e^x + 1)^(3/2) + C

 

Semana 14:

Clase 27:

Técnicas de integración (por partes, fracciones parciales). ¡Amplía tu arsenal de integración!

Ejemplo de pregunta:
Calcula la integral indefinida de f(x) = x * sen(x).

Solución:

(Esta solución implica usar la técnica de integración por partes).

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la integral indefinida de f(x) = x * e^x.

Solución:

¡Integración por partes!

Integral de u dv = u v – Integral de v du

¡Eligiendo u y dv!

u = x, dv = e^x dx

¡Calculando du y v!

du = dx, v = e^x

¡Aplicando la fórmula!

x * e^x – Integral de e^x dx = x * e^x – e^x + C

¡Integral indefinida! e^x * (x – 1) + C

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula la integral indefinida de f(x) = 1 / (x^2 – 1).

Solución:

¡Integración por Fracciones parciales!

1 / (x^2 – 1) = 1 / ((x – 1)(x + 1)) = A / (x – 1) + B / (x + 1)

¡Encontrando A y B!

1 = A(x + 1) + B(x – 1). Resolviendo para A y B, obtenemos A = 1/2, B = -1/2

¡Reescribiendo la integral!

(1/2) * Integral de (1 / (x – 1)) dx – (1/2) * Integral de (1 / (x + 1)) dx

¡Integrando!

(1/2) * ln|x – 1| – (1/2) * ln|x + 1| + C

¡Integral indefinida! (1/2) * ln| (x – 1) / (x + 1) | + C

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula la integral indefinida de f(x) = ln(x).

Solución:

¡Integración por partes!

Integral de u dv = u v – Integral de v du

¡Eligiendo u y dv!

u = ln(x), dv = dx

¡Calculando du y v!

du = (1/x) dx, v = x

¡Aplicando la fórmula!

x * ln(x) – Integral de x * (1/x) dx = x * ln(x) – Integral de dx

¡Integral indefinida!

x * ln(x) – x + C

 

Clase 28:

Integrales trigonométricas. ¡Integra funciones trigonométricas con maestría!

Ejemplo de pregunta:
Calcula la integral indefinida de f(x) = sen^2(x).

Solución:

(Integral trigonométrica; Esta solución implica usar identidades trigonométricas)

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la integral indefinida de f(x) = cos^3(x).

Solución:

¡Reescribiendo!

cos^3(x) = cos^2(x) * cos(x) = (1 – sen^2(x)) * cos(x)

¡Sustitución!

u = sen(x), du = cos(x) dx

¡Reemplazando!

Integral de (1 – u^2) du = Integral de du – Integral de u^2 du

¡Integrando!

u – (u^3) / 3 + C

¡Integral indefinida!

sen(x) – (sen^3(x)) / 3 + C

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula la integral indefinida de f(x) = sen(x) * cos(x).

Solución:

¡Sustitución!

u = sen(x), du = cos(x) dx

¡Reemplazando!

Integral de u du

¡Integrando!

(u^2) / 2 + C

¡Integral indefinida!

(sen^2(x)) / 2 + C

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula la integral indefinida de f(x) = tan^2(x).

Solución:

¡Identidad trigonométrica!

tan^2(x) = sec^2(x) – 1

¡Reescribiendo!

Integral de (sec^2(x) – 1) dx = Integral de sec^2(x) dx – Integral de dx

¡Integrando!

tan(x) – x + C

¡Integral indefinida!

tan(x) – x + C

 

Semana 15:

Clase 29:

Integral definida y el teorema fundamental del Cálculo. ¡Conecta la integral con la derivada!

Ejemplo de pregunta:
Calcula la integral definida de f(x) = 2x desde 0 hasta 2.

Solución:

(Esta solución implica evaluar la integral en los límites de integración).

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula la integral definida de f(x) = x^2 desde 1 hasta 3.

Solución:

¡Integral indefinida!

(x^3) / 3

¡Teorema fundamental del Cálculo!

[(3)^3 / 3] – [(1)^3 / 3]

¡Evaluando!

9 – 1/3 = 26/3

¡Integral definida!

26/3

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el área bajo la curva f(x) = sen(x) desde 0 hasta pi.

Solución:

¡Integral definida!

Integral de sen(x) desde 0 hasta pi

¡Integral indefinida!

-cos(x)

¡Evaluando!

[-cos(pi)] – [-cos(0)] = 1 – (-1) = 2

¡Área!

2

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula la integral definida de f(x) = e^x desde 0 hasta 1.

Solución:

¡Integral definida!

Integral de e^x desde 0 hasta 1

¡Integral indefinida!

e^x

¡Evaluando!

e^1 – e^0 = e – 1

¡Integral definida!

e – 1

 

Clase 30:

Aplicaciones de la integral definida: área entre curvas. ¡Calcula áreas con precisión!

 

Ejemplo de pregunta:
Encuentra el área entre las curvas y = x^2 e y = 2x.

Solución:

Este problema implica encontrar los puntos de intersección y calcular la integral de la diferencia de las funciones. Área entre las curvas y = x^2 e y = x + 2.

¡Puntos de intersección!

x^2 = x + 2, entonces x^2 – x – 2 = 0, entonces (x – 2)(x + 1) = 0, entonces x = 2 y x = -1

¡Integral definida!

Integral de (x + 2) – x^2 desde -1 hasta 2

¡Integral indefinida!

(x^2) / 2 + 2x – (x^3) / 3

¡Evaluando!

[(2)^2 / 2 + 2(2) – (2)^3 / 3] – [(-1)^2 / 2 + 2(-1) – (-1)^3 / 3]

¡Área!

9/2

Ejemplo de pregunta 3:
Encuentra el área de la región acotada por las curvas y = sen(x) e y = cos(x) desde 0 hasta pi/4.

Solución:

¡Puntos de intersección!

En [0, pi/4], cos(x) >= sen(x)

¡Integral definida!

Integral de cos(x) – sen(x) desde 0 hasta pi/4

¡Integral indefinida!

sen(x) + cos(x)

¡Evaluando!

[sen(pi/4) + cos(pi/4)] – [sen(0) + cos(0)] = (raíz cuadrada de 2 / 2 + raíz cuadrada de 2 / 2) – (0 + 1) = raíz cuadrada de 2 – 1

¡Área!

raíz cuadrada de 2 – 1

Ejemplo de pregunta 4:
Encuentra el área de la región acotada por las curvas y = x^3 e y = x.

Solución:

¡Puntos de intersección!

x^3 = x, entonces x^3 – x = 0, entonces x(x^2 – 1) = 0, entonces x = 0, x = 1, x = -1

¡Integral definida!

Dividimos en dos integrales:
Integral de x – x^3 desde -1 hasta 0
Integral de x^3 – x desde 0 hasta 1

¡Calculando las integrales!

Se calculan ambas integrales y se suman los resultados

¡Área!

1/2

Semana 16:

Clase 31:

Aplicaciones de la integral definida: volúmenes de sólidos de revolución. Método de discos o arandelas. ¡Calcula volúmenes con la integral!

Ejemplo de pregunta:
Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por y = x^2 e y = 0 alrededor del eje x, desde x = 0 hasta x = 2.

Solución:

Este problema implica usar el método de discos o arandelas.

Ejemplo de pregunta 2:
Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por y = x e y = x^2 alrededor del eje x.

Solución:

¡Método de Integración por discos o arandelas!

¡Integral definida!

Integral de pi * [(x)^2 – (x^2)^2] desde 0 hasta 1 (puntos de intersección)

¡Integral indefinida!

pi * [(x^3) / 3 – (x^5) / 5]

¡Evaluando!

pi * [(1/3) – (1/5)] = (2/15) * pi

¡Volumen!

(2/15) * pi

Ejemplo de pregunta 3:
Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por y = raíz cuadrada de x, y = 0 y x = 4 alrededor del eje y.

Solución:

¡Método de discos/arandelas (con respecto a y)!

¡Integral definida!

Integral de pi * (y^2)^2 dy desde 0 hasta 2 (puntos de intersección)

¡Integral indefinida!

pi * (y^5) / 5

¡Evaluando!

pi * (32/5) = (32/5) * pi

¡Volumen!

(32/5) * pi

Ejemplo de pregunta 4:
Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por y = x^2 e y = 4 alrededor de la recta y = 4.

Solución:

¡Método de discos/arandelas!

¡Integral definida!

Integral de pi * (4 – x^2)^2 dx desde -2 hasta 2 (puntos de intersección)

¡Integral indefinida!

pi * (16x – (8x^3) / 3 + (x^5) / 5)

¡Evaluando!

pi * (64 – 64/3 + 64/5) = (256/15) * pi

¡Volumen!

(256/15) * pi

 

Clase 32:

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