Ejercicios de Alta Dificultad para el GMAT QUANT 700+ Explicaciones Detalladas

By Claudio Hurtado Coach GMAT QUANT +56937780070

1. Combinatoria y Probabilidad (Nivel 700+)

Ejercicio 1: Permutaciones complejas con restricciones múltiples

Problema: «¿De cuántas maneras pueden sentarse 8 ejecutivos alrededor de una mesa circular si el CEO y el CFO no pueden estar juntos, y el CTO debe estar frente al Director de Marketing?»

Solución paso a paso:

1. Tratar restricción fuerte primero (CTO frente a DM):
   • Fijamos al CTO en cualquier asiento (1 opción)
   • DM queda fijo en posición opuesta (1 opción)
2. Quedan 6 ejecutivos por sentar, incluyendo CEO y CFO
3. Restricción CEO-CFO:
   • Total sin restricciones: 6! = 720
   • Tratar CEO-CFO como bloque: 2! × 5! = 240
   • Restar: 720 – 240 = 480
4. Como es mesa circular, dividimos por rotaciones: 480/6 = 80 maneras

Sugerencia: En problemas circulares con restricciones, siempre trata la restricción más fuerte primero y ajusta por simetrías.

Ejercicio 2: Probabilidad condicional avanzada

Problema: «Tres máquinas producen tornillos. La Máquina A produce 40% con 2% defectuosos, B 35% con 3% defectuosos, y C 25% con 1% defectuosos. Si se selecciona un tornillo defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que venga de B?»

Solución detallada:

1. Probabilidad total defectuosos:
   • P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C)
   • = 0.40×0.02 + 0.35×0.03 + 0.25×0.01 = 0.008 + 0.0105 + 0.0025 = 0.021
2. Teorema de Bayes:
   • P(B|D) = P(B)P(D|B)/P(D) = 0.0105/0.021 = 0.5 (50%)

Truco: Usa siempre un diagrama de árbol para visualizar problemas de probabilidad condicional.

(Continúo con 8 ejercicios más de combinatoria avanzada…)

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2. Data Sufficiency (Nivel 750)

Ejercicio 1: Álgebra avanzada con parámetros

Problema: «¿La ecuación x^3 + ax^2 + bx + c = 0 tiene raíces reales distintas?»
(1) a^2 > 3b
(2) c = 0

Análisis exhaustivo:

1. Concepto clave: Para raíces reales distintas, el discriminante debe ser positivo.
2. Declaración (1): a^2 > 3b es condición necesaria pero no suficiente para discriminante positivo.
   • Contraejemplo: a=2, b=1 (cumple) pero c podría hacer raíces iguales.
3. Declaración (2): c=0 implica x=0 es raíz, pero no garantiza 3 raíces distintas.
4. Combinadas: Con c=0 y a^2>3b, aún podrían haber raíces repetidas (ej: x^3 – 3x^2 + 2x = 0 tiene raíces 0,1,2 pero depende de coeficientes).
   Respuesta: E (Incluso juntas no son suficientes)

Estrategia: En problemas con parámetros, prueba valores extremos (0,1,-1) y casos especiales.

Ejercicio 2: Teoría de números avanzada

Problema: «¿Es el entero n divisible por 36?»
(1) n es divisible por 12
(2) n/6 es un número impar

Desarrollo meticuloso:

1. Descomposición prima: 36 = 2^2 × 3^2
2. Declaración (1): 12 = 2^2 × 3 → Faltaría otro factor 3
   • Contraejemplo: n=12 (no divisible por 36) vs n=36 (sí divisible)
3. Declaración (2): n/6 impar ⇒ n = 6×(2k+1) = 2×3×(2k+1)
   • Garantiza un solo 3 en factorización prima
4. Combinadas: n divisible por 12 y n/6 impar ⇒ n=12,36,60… Solo 36,108,etc cumplen
   Respuesta: C (Juntas son suficientes)

Técnica clave: Siempre descomponga en factores primos para problemas de divisibilidad.

(8 problemas adicionales de DS con análisis detallados…)

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3. Teoría de Números (Nivel 700-750)

Ejercicio 1: Aritmética modular avanzada

Problema: «¿Cuál es el último dígito de 7^(2024)?»

Resolución paso a paso:

1. Patrón de ciclicidad para 7^n mod 10:
   • 7^1 ≡ 7
   • 7^2 ≡ 9
   • 7^3 ≡ 3
   • 7^4 ≡ 1
   • Ciclo cada 4 exponentes
2. Divide el exponente: 2024 ÷ 4 = 506 exacto
3. Corresponde al 4to caso: Último dígito = 1

Mnemotécnico: Para ciclicidad de dígitos, memoriza «7-9-3-1» como patrón.

Ejercicio 2: Problema de congruencias

Problema: «Encuentra el menor entero positivo x que satisface: x ≡ 2 mod 5, x ≡ 3 mod 7, x ≡ 1 mod 4»

Tener presente: La notación x ≡ a mod n significa que «x deja un residuo de a cuando se divide por n»

Solución sistemática:

1. Primeras dos condiciones:
   • x = 5k + 2
   • 5k + 2 ≡ 3 mod 7 ⇒ 5k ≡ 1 mod 7
   • Inverso de 5 mod 7 es 3 (pues 5×3=15≡1)
   • ⇒ k ≡ 3 mod 7 ⇒ k = 7m + 3
   • ⇒ x = 5(7m +3) + 2 = 35m + 17
2. Tercera condición:
   • 35m + 17 ≡ 1 mod 4
   • 35 ≡ 3 mod 4, 17 ≡ 1 mod 4
   • ⇒ 3m + 1 ≡ 1 mod 4 ⇒ 3m ≡ 0 mod 4 ⇒ m ≡ 0 mod 4
   • ⇒ m = 4n
   • ⇒ x = 35×4n + 17 = 140n + 17
3. Menor solución positiva: n=0 ⇒ x=17

Método recomendado: Para sistemas de congruencias, use sustitución gradual.

(8 ejercicios más de teoría de números avanzada…)

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4. Word Problems (Nivel 700+)

Ejercicio 1: Problema de tasas compuestas

Problema: «Dos trenes parten hacia una ciudad a 300 km. El Tren A viaja a 80 km/h. El Tren B sale 30 minutos después pero a 100 km/h. ¿A qué distancia de la ciudad estarán cuando el Tren B alcance al A?»

Desarrollo detallado:

1. Ventaja inicial de A: 30 min a 80 km/h = 40 km
2. Velocidad relativa: 100 – 80 = 20 km/h
3. Tiempo alcance: 40 km / 20 km/h = 2 horas
4. Distancia recorrida por B en 2h: 100 × 2 = 200 km
5. Distancia restante: 300 – 200 = 100 km

Visualización: Dibuja diagrama de movimiento con tiempos sincronizados.

Ejercicio 2: Problema de mezclas avanzado

Problema: «Se mezclan 3 soluciones salinas: 200mL al 10%, 300mL al 20%, y 500mL al x%. Si la mezcla final es al 18%, halla x.»

Resolución meticulosa:

1. Total volumen: 200 + 300 + 500 = 1000 mL
2. Sal total: 200×0.10 + 300×0.20 + 500×(x/100) = 20 + 60 + 5x = 80 + 5x
3. Concentración final: (80 + 5x)/1000 = 0.18
4. Resolver: 80 + 5x = 180 ⇒ 5x = 100 ⇒ x = 20%

Verificación: Siempre compruebe que la ecuación de balance de masa sea consistente.

(8 problemas adicionales de alta complejidad…)

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Estrategias Maestras para Problemas Difíciles

1. Técnica de «Divide y Vencerás»:
   • Descomponga problemas complejos en subproblemas manejables
   • Ej: En combinatoria, trate restricciones una por una
2. Método de «Suposición Inteligente»:
   • En DS, pruebe valores frontera (0, extremos, casos especiales)
   • En teoría de números, verifique patrones con números pequeños
3. Verificación Dimensional:
   • En word problems, asegúrese que unidades sean consistentes
   • Ej: km/h vs m/s en problemas de velocidad
4. Regla del «Peor Caso»:
   • En probabilidad, considere el escenario más restrictivo
   • En combinatoria, aplique el principio del palomar estratégicamente